अध्याय 6: प्रतिशत (Percentage) – शून्य से शिखर तक
“हर गणना का आधार – सौ (100) पर आधारित तुलना”
प्रतिशत का शाब्दिक अर्थ है ‘प्रति सैकड़ा’ या ‘सौ में से’। गणित में प्रतिशत वह भिन्न है जिसका हर (Denominator) हमेशा 100 होता है। इसे ‘%’ चिह्न से दर्शाया जाता है। यदि हम कहते हैं कि किसी छात्र ने 80% अंक प्राप्त किए, तो इसका मतलब है कि उसने प्रत्येक 100 अंकों में से 80 अंक प्राप्त किए हैं।
खंड 1: बुनियादी नियम और रूपांतरण (Conversion)
प्रतिशत के सवालों को तेज़ी से हल करने के लिए आपको भिन्नों और प्रतिशत के बीच का संबंध पता होना चाहिए।
1. प्रतिशत को भिन्न में बदलना:
प्रतिशत का चिह्न हटाएं और संख्या को 100 से भाग दें।
उदाहरण: 20% = 20/100 = 1/5.
2. भिन्न को प्रतिशत में बदलना:
भिन्न को 100 से गुणा करें और ‘%’ का चिह्न लगाएं।
उदाहरण: 1/4 = (1/4 × 100)% = 25%.
महत्वपूर्ण मान (याद रखें):
- 1/2 = 50%
- 1/3 = 33.33%
- 1/4 = 25%
- 1/5 = 20%
- 1/8 = 12.5%
- 1/10 = 10%
खंड 2: प्रतिशत के प्रमुख प्रकार और सूत्र
नियम 1: प्रतिशत वृद्धि और कमी
यदि किसी संख्या में x% की वृद्धि की जाती है, तो नई संख्या = मूल संख्या × (100 + x) / 100.
यदि कमी की जाती है, तो नई संख्या = मूल संख्या × (100 – x) / 100.
नियम 2: प्रतिशत तुलना (Comparison)
यदि A की आय B से 25% अधिक है, तो B की आय A से कितने प्रतिशत कम है?
सूत्र: [r / (100 + r)] × 100
हल: [25 / (100 + 25)] × 100 = 25/125 × 100 = 20%.
नियम 3: लगातार परिवर्तन (Successive Change)
यदि किसी वस्तु की कीमत पहले x% बढ़ाई जाए और फिर y% बढ़ाई जाए।
कुल परिवर्तन सूत्र: x + y + (xy / 100)
खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के हल प्रश्न (Detailed Solutions)
प्रश्न 1: एक चुनाव में दो उम्मीदवार थे। जीतने वाले को 60% वोट मिले और वह 4000 वोटों से जीत गया। कुल कितने वोट पड़े?
समाधान:
जीतने वाले को मिले = 60%.
हारने वाले को मिले = 100% – 60% = 40%.
जीत का अंतर प्रतिशत में = 60% – 40% = 20%.
प्रश्न के अनुसार, 20% = 4000.
1% = 4000 / 20 = 200.
कुल वोट (100%) = 200 × 100 = 20,000.
उत्तर: 20,000
प्रश्न 2: चीनी के मूल्य में 20% की वृद्धि होने पर एक गृहिणी को अपनी खपत कितने प्रतिशत कम करनी चाहिए ताकि खर्च न बढ़े?
समाधान:
वृद्धि (r) = 20%.
कमी प्रतिशत = [r / (100 + r)] × 100
= [20 / (100 + 20)] × 100 = 20/120 × 100 = 16.66%.
उत्तर: 16.66%
प्रश्न 3: एक शहर की जनसंख्या 10,000 है। यह प्रतिवर्ष 10% की दर से बढ़ती है। 2 वर्ष बाद जनसंख्या क्या होगी?
समाधान:
प्रथम वर्ष बाद = 10,000 का 110% = 11,000.
द्वितीय वर्ष बाद = 11,000 का 110% = 12,100.
शॉर्टकट: 10,000 × (110/100) × (110/100) = 12,100.
उत्तर: 12,100
खंड 4: परीक्षाओं के लिए विशेष “टाइप्स”
1. परीक्षा में फेल-पास वाले सवाल:
अक्सर पूछा जाता है कि एक छात्र को पास होने के लिए 33% चाहिए थे, उसने 25% लिए और 40 अंकों से फेल हो गया। ऐसे सवालों में प्रतिशत के अंतर को अंकों के अंतर के बराबर रखें।
2. मिश्रण (Mixture) वाले सवाल:
जैसे—दूध और पानी के 40 लीटर मिश्रण में 10% पानी है। कितना पानी और मिलाएं कि पानी 20% हो जाए? यहाँ ‘दूध’ की मात्रा को स्थिर (Constant) रखकर हल करें।
खंड 5: मोबाइल टिप्स और ट्रिक्स (Quick Revision)
- 10% निकालना: किसी भी संख्या का 10% निकालने के लिए पीछे से एक अंक छोड़कर बिंदु लगा दें। (जैसे 500 का 10% = 50.0)।
- 1% निकालना: दो अंक छोड़कर बिंदु लगाएं। (500 का 1% = 5.00)।
- AB नियम: यदि A, B से बढ़ता है और B, C से, तो हमेशा 100 मानकर शुरू करना आसान होता है।
- आय और व्यय: आय = खर्च + बचत। बचत हमेशा आय का वह हिस्सा है जो खर्च के बाद बचता है।
अभ्यास प्रश्नावली (Practice Questions)
- 0.05 को प्रतिशत में बदलें।
- यदि किसी संख्या का 40%, 120 है, तो वह संख्या क्या है?
- एक आयत की लंबाई 20% बढ़ाई गई और चौड़ाई 10% कम की गई। क्षेत्रफल पर क्या प्रभाव पड़ा?
- एक टोकरी में 20% सेब खराब हैं। यदि अच्छे सेबों की संख्या 80 है, तो कुल सेब कितने थे?
— प्रतिशत का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। इसे अच्छे से समझें क्योंकि अगला अध्याय ‘लाभ और हानि’ इसी पर टिका है। —