अध्याय 20: बीजगणित (Algebra) – संपूर्ण मार्गदर्शिका

“अज्ञात राशियों को खोजने और समीकरणों को संतुलित करने का विज्ञान”

बीजगणित गणित की वह शाखा है जिसमें हम अंकों के स्थान पर अक्षरों (जैसे x, y, a, b) का प्रयोग करते हैं। ये अक्षर ‘चर’ (Variables) कहलाते हैं क्योंकि इनका मान बदल सकता है। बीजगणित का मुख्य उद्देश्य एक अज्ञात राशि का मान ज्ञात करना होता है। प्रतियोगी परीक्षाओं में बीजगणित से संबंधित प्रश्न आपकी तार्किक क्षमता और गणना की गति को परखने के लिए पूछे जाते हैं।

खंड 1: बुनियादी शब्द और परिभाषाएँ

• चर (Variable): वे राशियाँ जिनका मान निश्चित नहीं होता (जैसे x, y, z)।
• अचर (Constant): वे राशियाँ जिनका मान हमेशा स्थिर रहता है (जैसे 5, -10, 100)।
• पद (Term): चर और अचर का गुणनफल (जैसे 5x, 3y²)।
• व्यंजक (Expression): पदों का समूह जो प्लस या माइनस से जुड़ा हो (जैसे 2x + 5)।
• समीकरण (Equation): जब दो व्यंजकों के बीच बराबर (=) का चिह्न हो (जैसे x + 5 = 10)।

खंड 2: महत्वपूर्ण बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ (Algebraic Identities)

सवालों को पलक झपकते ही हल करने के लिए ये सूत्र आपको ‘जुबानी’ याद होने चाहिए:

खंड 3: समीकरणों को हल करने की विधि

1. रैखिक समीकरण (Linear Equation):

जिसमें चर की अधिकतम घात 1 हो।

उदाहरण: 2x + 10 = 20

2x = 20 – 10 -> 2x = 10 -> x = 5.

2. द्विघात समीकरण (Quadratic Equation):

जिसमें चर की अधिकतम घात 2 हो। इसका मानक रूप ax² + bx + c = 0 होता है।

इसे हल करने के लिए हम ‘गुणनखंड विधि’ या ‘श्रीधराचार्य सूत्र’ का प्रयोग करते हैं।

खंड 4: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1: यदि x + 1/x = 5 हो, तो x² + 1/x² का मान क्या होगा?

समाधान (ट्रिक):

यदि x + 1/x = k, तो x² + 1/x² = k² – 2.

यहाँ k = 5, अतः मान = 5² – 2 = 25 – 2 = 23.

उत्तर: 23

प्रश्न 2: यदि a = 11 और b = 9 हो, तो (a² + b² + ab) / (a³ – b³) का मान ज्ञात करें।

समाधान:

हमें पता है a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²).

अतः व्यंजक = (a² + b² + ab) / [(a – b)(a² + ab + b²)]

= 1 / (a – b) = 1 / (11 – 9) = 1/2.

उत्तर: 1/2

प्रश्न 3: दो संख्याओं का योग 15 है और उनका गुणनफल 56 है। उनके व्युत्क्रमों (Reciprocals) का योग क्या होगा?

समाधान:

माना संख्याएँ a और b हैं। a + b = 15, ab = 56.

व्युत्क्रमों का योग = 1/a + 1/b = (a + b) / ab.

= 15 / 56.

उत्तर: 15/56

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” कैप्सूल

• पक्षांतरण (Transpose): बराबर के दूसरी तरफ जाने पर प्लस (+), माइनस (-) में और गुणा (×), भाग (÷) में बदल जाता है।
• घात का नियम: यदि आधार समान हो, तो गुणा में घातें जुड़ जाती हैं (x² × x³ = x⁵)।
• वैल्यू पुटिंग (Value Putting): कठिन बीजगणितीय सवालों में x या y का मान 0, 1 या 2 रखकर देखें, उत्तर जल्दी मिल जाएगा।
• सावधानी: कोष्ठक खोलते समय (-) चिह्न का विशेष ध्यान रखें, यह अंदर के सभी चिह्नों को बदल देता है।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. यदि x + 1/x = 3 हो, तो x³ + 1/x³ का मान क्या होगा? (हिंट: k³ – 3k)
2. समीकरण x² – 5x + 6 = 0 के मूल (Roots) ज्ञात करें।
3. यदि a + b + c = 0 हो, तो a³ + b³ + c³ का मान क्या होगा?
4. दो क्रमागत प्राकृत संख्याओं के वर्गों का अंतर 37 है। संख्याएँ ज्ञात करें।

— बीजगणित का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: त्रिकोणमिति (Trigonometry) का अभ्यास करें। —

अध्याय 19: क्षेत्रमिति 3D (Mensuration 3D) – संपूर्ण मार्गदर्शिका

“ठोस आकृतियों के आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल का गणितीय विश्लेषण”

क्षेत्रमिति 3D उन आकृतियों का अध्ययन है जिनमें लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई (या गहराई) तीनों विमाएँ होती हैं। इन आकृतियों को ठोस (Solid) कहा जाता है। 2D और 3D में मुख्य अंतर यह है कि 3D आकृतियों में आयतन (Volume) होता है, यानी वे कितना स्थान घेरती हैं या उनमें कितनी सामग्री (जैसे पानी, हवा) समा सकती है।

खंड 1: महत्वपूर्ण शब्दावली (Key Terms)

• आयतन (Volume): किसी ठोस वस्तु द्वारा घेरा गया कुल त्रिविमीय स्थान। इसकी इकाई ‘घन इकाई’ (जैसे m³ या cm³) होती है।
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area – CSA): केवल घुमावदार हिस्से का क्षेत्रफल (जैसे बेलन की दीवारें)।
• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area – TSA): ऊपर और नीचे के आधार सहित पूरी आकृति का बाहरी क्षेत्रफल।
• धारिता (Capacity): किसी बर्तन में भरी जा सकने वाली द्रव की अधिकतम मात्रा (अक्सर लीटर में)।

खंड 2: प्रमुख ठोस आकृतियाँ और उनके सूत्र

1. घन (Cube)

वह ठोस जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई तीनों बराबर (a) हों।

• आयतन: भुजा³ (a³)
• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: 6a²
• विकर्ण (सबसे लंबी छड़): a√3

2. घनाभ (Cuboid)

ईंट या कमरे जैसी आकृति जिसकी लंबाई (l), चौड़ाई (b) और ऊँचाई (h) अलग-अलग हों।

• आयतन: l × b × h
• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल: 2(lb + bh + hl)
• विकर्ण: √(l² + b² + h²)
• कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल: 2h(l + b)

3. बेलन (Cylinder)

पाइप या ड्रम जैसी आकृति जिसकी त्रिज्या ‘r’ और ऊँचाई ‘h’ हो।

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• आयतन: πr²h
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA): 2πrh
• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA): 2πr(r + h)

4. शंकु (Cone)

जोकर की टोपी या आइसक्रीम कोन जैसी आकृति।

• तिरछी ऊँचाई (l): √(r² + h²)
• आयतन: 1/3 × πr²h
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA): πrl
• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA): πr(r + l)

5. गोला और अर्धगोला (Sphere & Hemisphere)

फुटबॉल और कटोरे जैसी आकृति।

• गोले का आयतन: 4/3 × πr³
• गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल: 4πr²
• अर्धगोले का आयतन: 2/3 × πr³
• अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA): 3πr²

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1: 12 मीटर लंबे, 9 मीटर चौड़े और 8 मीटर ऊँचे कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई क्या होगी?

समाधान:

सबसे लंबी छड़ = घनाभ का विकर्ण।

विकर्ण = √(12² + 9² + 8²) = √(144 + 81 + 64)

= √289 = 17 मीटर।

उत्तर: 17 मीटर

प्रश्न 2: 7 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाले बेलन का आयतन ज्ञात करें।

समाधान:

आयतन = πr²h = (22/7) × 7 × 7 × 10

= 22 × 7 × 10 = 1540 घन सेमी।

उत्तर: 1540 cm³

प्रश्न 3: 3 सेमी त्रिज्या वाले सोने के एक गोले को पिघलाकर 0.2 सेमी व्यास वाला तार बनाया जाता है। तार की लंबाई क्या होगी?

समाधान:

पिघलाने पर आयतन समान रहता है। (गोले का आयतन = बेलनाकार तार का आयतन)

4/3 × π × 3³ = π × (0.1)² × h

4/3 × 27 = 0.01 × h

36 = 0.01 × h -> h = 3600 सेमी या 36 मीटर।

उत्तर: 36 मीटर

खंड 4: पिघलाने और ढालने के नियम (Melting Rule)

जब एक ठोस को पिघलाकर दूसरा ठोस बनाया जाता है, तो उनका आयतन (Volume) हमेशा समान रहता है।

संख्या = (बड़े ठोस का आयतन) / (एक छोटे ठोस का आयतन)

उदाहरण: 6 सेमी भुजा वाले घन से 2 सेमी भुजा वाले कितने घन बनेंगे?

संख्या = (6×6×6) / (2×2×2) = 216 / 8 = 27.

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” कैप्सूल

• लीटर और सेमी³: 1000 cm³ = 1 लीटर। 1 m³ = 1000 लीटर।
• प्रतिशत प्रभाव: यदि गोले की त्रिज्या 10% बढ़ाई जाए, तो आयतन लगभग 33.1% बढ़ जाएगा।
• शंकु और बेलन: यदि त्रिज्या और ऊँचाई समान हो, तो बेलन का आयतन शंकु से 3 गुना होता है।
• इकाई की जाँच: कैलकुलेशन से पहले लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई को एक ही इकाई (जैसे सब मीटर में) में बदलें।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 150 वर्ग सेमी है। इसका आयतन क्या होगा?
2. 21 सेमी ऊँचे और 20 सेमी तिरछी ऊँचाई वाले शंकु का आयतन ज्ञात करें।
3. दो गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात 2:3 है। उनके आयतनों का अनुपात क्या होगा? (संकेत: r₁³ : r₂³)।
4. एक बेलनाकार टैंक की धारिता 6160 लीटर है। यदि उसकी त्रिज्या 1.4 मीटर हो, तो गहराई ज्ञात करें।

— क्षेत्रमिति 3D का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: बीजगणित (Algebra) का अभ्यास करें। —

अध्याय 18: क्षेत्रमिति (Mensuration 2D) – संपूर्ण मार्गदर्शिका

“आकृतियों के क्षेत्रफल और परिमाप को मापने का विज्ञान”

क्षेत्रमिति (Mensuration) गणित की वह शाखा है जो ज्यामितीय आकृतियों के माप (जैसे लंबाई, चौड़ाई, क्षेत्रफल और परिमाप) से संबंधित है। 2D आकृतियाँ वे होती हैं जिनमें केवल दो विमाएँ (Dimension) होती हैं—लंबाई और चौड़ाई। इन्हें हम समतल कागज पर खींच सकते हैं। इनमें ‘आयतन’ (Volume) नहीं होता, केवल ‘क्षेत्रफल’ होता है।

खंड 1: बुनियादी शब्द और उनकी परिभाषा

• परिमाप (Perimeter): किसी भी बंद आकृति की बाहरी सीमा (Boundary) की कुल लंबाई को परिमाप कहते हैं। इसे मीटर या सेंटीमीटर में मापते हैं।
• क्षेत्रफल (Area): किसी आकृति द्वारा समतल सतह पर घेरे गए कुल स्थान को क्षेत्रफल कहते हैं। इसे हमेशा ‘वर्ग इकाई’ (जैसे वर्ग मीटर या m²) में मापते हैं।
• विकर्ण (Diagonal): किसी आकृति के दो विपरीत कोनों को जोड़ने वाली रेखा।

खंड 2: महत्वपूर्ण आकृतियाँ और उनके सूत्र

1. आयत (Rectangle)

वह चतुर्भुज जिसकी आमने-सामने की भुजाएं बराबर हों और प्रत्येक कोण 90° का हो।

• क्षेत्रफल: लंबाई × चौड़ाई (L × B)
• परिमाप: 2 × (लंबाई + चौड़ाई)
• विकर्ण: √(L² + B²)

2. वर्ग (Square)

वह चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएं बराबर हों और प्रत्येक कोण 90° का हो।

• क्षेत्रफल: भुजा × भुजा (a²) या 1/2 × (विकर्ण)²
• परिमाप: 4 × भुजा (4a)
• विकर्ण: a√2 (भुजा × √2)

3. त्रिभुज (Triangle)

तीन भुजाओं से घिरी बंद आकृति।

• साधारण क्षेत्रफल: 1/2 × आधार × ऊँचाई
• समबाहु त्रिभुज (Equilateral): जिसकी तीनों भुजाएं बराबर हों।
  
  क्षेत्रफल = (√3 / 4) × a²
• हीरोन का सूत्र (Heron’s Formula): जब तीनों भुजाएं (a, b, c) अलग हों।
  
  क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], जहाँ s = (a+b+c)/2

4. वृत्त (Circle)

एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का पथ।

[attachment_0](attachment)

• क्षेत्रफल: πr² (π ≈ 22/7 या 3.14)
• परिधि (Circumference): 2πr
• व्यास (Diameter): 2 × त्रिज्या (2r)

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1: एक आयताकार मैदान की लंबाई 20 मीटर और चौड़ाई 15 मीटर है। इसके चारों ओर बाड़ लगाने का खर्च 10 रुपये प्रति मीटर की दर से क्या होगा?

समाधान:

बाड़ हमेशा परिमाप पर लगती है।

परिमाप = 2 × (20 + 15) = 2 × 35 = 70 मीटर।

कुल खर्च = 70 × 10 = 700 रुपये।

उत्तर: 700 रुपये

प्रश्न 2: एक वर्ग का विकर्ण 10√2 सेमी है। इसका क्षेत्रफल क्या होगा?

समाधान:

विकर्ण = a√2. अतः 10√2 = a√2 -> भुजा (a) = 10 सेमी।

क्षेत्रफल = a² = 10 × 10 = 100 वर्ग सेमी।

उत्तर: 100 वर्ग सेमी

प्रश्न 3: एक पहिए का व्यास 70 सेमी है। 440 मीटर की दूरी तय करने में यह कितने चक्कर लगाएगा?

समाधान:

व्यास = 70, त्रिज्या (r) = 35 सेमी।

एक चक्कर में दूरी (परिधि) = 2 × 22/7 × 35 = 220 सेमी।

कुल दूरी = 440 मीटर = 44,000 सेमी।

चक्करों की संख्या = 44000 / 220 = 200.

उत्तर: 200 चक्कर

खंड 4: रास्ते वाले सवाल (Pathways) – स्पेशल ट्रिक

परीक्षाओं में मैदान के अंदर या बाहर रास्ता बनाने का सवाल बहुत आता है:

• बाहर रास्ता (चौड़ाई x): क्षेत्रफल = 2x(L + B + 2x)
• अंदर रास्ता (चौड़ाई x): क्षेत्रफल = 2x(L + B – 2x)
• बीचों-बीच रास्ता: क्षेत्रफल = x(L + B – x)

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” कैप्सूल

• इकाई का ध्यान: यदि लंबाई मीटर में और चौड़ाई सेमी में है, तो पहले दोनों को समान करें।
• प्रतिशत प्रभाव: यदि आयत की लंबाई 10% बढ़ाई जाए और चौड़ाई 10% कम, तो क्षेत्रफल हमेशा 1% कम होगा। (x²/100 नियम)।
• त्रिज्या का खेल: यदि वृत्त की त्रिज्या दुगुनी कर दी जाए, तो परिधि दुगुनी होगी लेकिन क्षेत्रफल चार गुना (2²) बढ़ जाएगा।
• खर्च की गणना: पुताई या टाइल्स लगाने का खर्च हमेशा ‘क्षेत्रफल’ पर निकलता है।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 8 सेमी है। इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
2. दो वर्गों के क्षेत्रफलों का अनुपात 9:16 है। उनके परिमापों का अनुपात क्या होगा?
3. एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 5 सेमी अधिक है। यदि परिमाप 50 सेमी हो, तो क्षेत्रफल ज्ञात करें।
4. 7 सेमी त्रिज्या वाले अर्धवृत्त (Semi-circle) का परिमाप क्या होगा? (संकेत: πr + 2r)।

— क्षेत्रमिति 2D का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: क्षेत्रमिति 3D (आयतन) का अभ्यास करें। —

अध्याय 17: मिश्रण (Alligation & Mixture) – संपूर्ण मार्गदर्शिका

“सस्ती और महंगी वस्तुओं के मेल का गणितीय संतुलन”

मिश्रण गणित का वह अध्याय है जो हमें सिखाता है कि जब दो अलग-अलग गुणों या कीमतों वाली वस्तुओं को मिलाया जाता है, तो प्राप्त मिश्रण का मूल्य क्या होगा और उन्हें किस अनुपात में मिलाया गया है। Alligation एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग औसत, लाभ-हानि, ब्याज और समय-दूरी के सवालों को पलक झपकते ही हल करने के लिए किया जाता है।

खंड 1: एलीगेशन (Alligation) का नियम

एलीगेशन का नियम तब लगाया जाता है जब दो अलग-अलग समूहों (Group A और Group B) का व्यक्तिगत मान और उनका ‘औसत मान’ (Mean Value) दिया हो।

नियम:

1. सस्ती वस्तु की कीमत (Cheaper – C)

2. महंगी वस्तु की कीमत (Dearer – D)

3. औसत मूल्य (Mean – M)

अनुपात = (D – M) : (M – C)

शर्त: औसत मूल्य (M) हमेशा एक संख्या से बड़ा और दूसरी से छोटा होना चाहिए।

खंड 2: महत्वपूर्ण प्रकार और समाधान (Solved Examples)

प्रश्न 1: 15 रु प्रति किलो वाले चावल को 20 रु प्रति किलो वाले चावल के साथ किस अनुपात में मिलाएं कि मिश्रण का मूल्य 18 रु प्रति किलो हो जाए?

समाधान (Alligation Method):

सस्ता (C) = 15, महंगा (D) = 20, औसत (M) = 18.

D – M = 20 – 18 = 2.

M – C = 18 – 15 = 3.

अनुपात = 2 : 3

उत्तर: 2 : 3

प्रश्न 2: दूध और पानी के मिश्रण में 10% पानी है। इसमें कितना पानी और मिलाएं कि पानी 20% हो जाए, यदि कुल मिश्रण 40 लीटर है?

समाधान:

पुराना पानी = 10%, नया पानी (जो मिलाना है) = 100%, औसत पानी = 20%.

अनुपात = (100 – 20) : (20 – 10) = 80 : 10 = 8 : 1.

8 यूनिट = 40 लीटर -> 1 यूनिट = 5 लीटर।

अतः 5 लीटर पानी मिलाना होगा।

उत्तर: 5 लीटर

खंड 3: बार-बार बदलने वाला मिश्रण (Replacement Formula)

जब एक बर्तन से कुछ मिश्रण निकालकर उतना ही पानी मिला दिया जाए और यह प्रक्रिया ‘n’ बार दोहराई जाए:

प्रश्न 3: एक बर्तन में 80 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 8 लीटर दूध निकालकर उतना ही पानी मिला दिया गया। यह प्रक्रिया दो बार और दोहराई गई। अब बर्तन में कितना दूध शेष है?

समाधान:

कुल (x) = 80, निकाला (y) = 8, प्रक्रिया (n) = 3 बार।

दूध = 80 [1 – 8/80]³ = 80 [9/10]³

= 80 × 729 / 1000 = 58.32 लीटर।

उत्तर: 58.32 लीटर

खंड 4: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” कैप्सूल

• लाभ-हानि में प्रयोग: यदि एक हिस्सा 10% लाभ और दूसरा 5% हानि पर बेचा जाए और कुल लाभ 2% हो, तो सीधा एलीगेशन लगाएं। (हानि को -5 लिखें)।
• इकाई की समानता: एलीगेशन लगाते समय तीनों मान एक ही इकाई में होने चाहिए (तीनों क्रय मूल्य हों या तीनों विक्रय मूल्य)।
• तिरछा घटाव: हमेशा बड़ी संख्या में से छोटी घटाएं, अनुपात कभी ऋणात्मक (-) नहीं होता।
• प्रतिशत और अनुपात: यदि दूध-पानी का अनुपात 3:2 है, तो दूध = 3/5 भाग या 60% है।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. एक दुकानदार 30 रु प्रति किलो वाली चीनी और 45 रु प्रति किलो वाली चीनी को किस अनुपात में मिलाए कि मिश्रण को 42 रु में बेचने पर 20% का लाभ हो? (संकेत: पहले मिश्रण का क्रय मूल्य निकालें)।
2. दो बर्तनों में दूध और पानी का अनुपात 5:2 और 8:5 है। इन्हें किस अनुपात में मिलाएं कि नए मिश्रण में अनुपात 9:4 हो जाए?
3. एक व्यक्ति के पास 10,000 रु थे। उसने एक हिस्सा 8% और शेष 10% ब्याज पर दिया। यदि उसे औसत 9.2% ब्याज मिला, तो दोनों हिस्से क्या हैं?
4. शुद्ध घी (100 रु/किलो) में वनस्पति तेल (50 रु/किलो) मिलाकर मिश्रण 96 रु में बेचने पर 20% लाभ होता है। किस अनुपात में मिलाया गया?

— मिश्रण का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: क्षेत्रमिति (Mensuration – 2D) का अभ्यास करें। —

अध्याय 16: साझेदारी (Partnership) – संपूर्ण मार्गदर्शिका

“व्यापारिक निवेश और मुनाफे के बंटवारे का गणितीय आधार”

साझेदारी (Partnership) गणित का वह भाग है जो हमें यह सिखाता है कि जब दो या दो से अधिक व्यक्ति मिलकर कोई व्यापार शुरू करते हैं, तो अंत में होने वाले लाभ (Profit) या हानि (Loss) को उनके बीच किस आधार पर बांटा जाना चाहिए। यह पूरा अध्याय ‘अनुपात और समानुपात’ पर टिका है। इसमें मुख्य रूप से दो बातों का ध्यान रखा जाता है: आपने कितना **पैसा (Investment)** लगाया और कितने **समय (Time)** के लिए लगाया।

खंड 1: साझेदारी के बुनियादी नियम (Basic Rules)

साझेदारी के सवालों को हल करने का केवल एक ही ‘महा-मंत्र’ है:

नियम 1: यदि समय समान हो, तो लाभ का बंटवारा केवल निवेश किए गए धन के अनुपात में होगा।

नियम 2: यदि निवेश समान हो, तो लाभ का बंटवारा केवल समय के अनुपात में होगा।

नियम 3: यदि निवेश और समय दोनों अलग-अलग हों, तो उनके गुणनफल (P × T) का अनुपात निकाला जाता है।

साझेदारों के प्रकार:

• निष्क्रिय साझेदार (Sleeping Partner): जो केवल पैसा लगाता है लेकिन काम नहीं करता।
• सक्रिय साझेदार (Working Partner): जो पैसा भी लगाता है और काम भी संभालता है। इसे अक्सर लाभ का कुछ प्रतिशत अलग से ‘सैलरी’ के रूप में दिया जाता है।

खंड 2: महत्वपूर्ण प्रकार और समाधान (Solved Examples)

प्रश्न 1: राम और श्याम ने क्रमशः 20,000 और 30,000 रुपये लगाकर एक व्यापार शुरू किया। वर्ष के अंत में 10,000 रुपये का लाभ हुआ। राम का हिस्सा क्या है?

समाधान:

यहाँ समय समान (1 वर्ष) है।

राम और श्याम के निवेश का अनुपात = 20000 : 30000 = 2 : 3.

कुल अनुपात = 2 + 3 = 5 यूनिट।

5 यूनिट = 10,000 रु -> 1 यूनिट = 2,000 रु।

राम का हिस्सा = 2 × 2000 = 4,000 रुपये।

उत्तर: 4,000 रुपये

प्रश्न 2: A ने 5000 रुपये 12 महीने के लिए और B ने 6000 रुपये 5 महीने के लिए लगाए। उनके लाभ का अनुपात क्या होगा?

समाधान:

A का (P × T) = 5000 × 12 = 60,000.

B का (P × T) = 6000 × 5 = 30,000.

अनुपात = 60000 : 30000 = 2 : 1.

उत्तर: 2 : 1

प्रश्न 3: A ने 3500 रु लगाकर व्यापार शुरू किया। 5 महीने बाद B उसका साझेदार बन गया। वर्ष के अंत में लाभ 2:3 के अनुपात में बांटा गया। B ने कितना पैसा लगाया?

समाधान:

A का समय = 12 महीने, B का समय = 7 महीने (12-5=7).

सूत्र: (A का निवेश × A का समय) / (B का निवेश × B का समय) = लाभ का अनुपात

(3500 × 12) / (X × 7) = 2 / 3

500 × 12 / X = 2 / 3 -> 6000 / X = 2 / 3

2X = 18000 -> X = 9,000.

उत्तर: 9,000 रुपये

खंड 3: सक्रिय साझेदार (Working Partner) वाले विशेष प्रश्न

अक्सर परीक्षाओं में पूछा जाता है कि एक साझेदार काम संभालने के लिए लाभ का 10% या 20% पहले ही ले लेता है। ऐसे में गणना कैसे करें?

उदाहरण: कुल लाभ 1000 है। A सक्रिय साझेदार है और 10% पहले लेता है। शेष लाभ A और B में 2:3 में बंटता है।

1. A का मैनेजमेंट हिस्सा = 1000 का 10% = 100 रु।

2. शेष लाभ = 1000 – 100 = 900 रु।

3. 900 को 2:3 में बांटें (900/5 = 180): A = 360, B = 540.

4. A का कुल लाभ = 360 + 100 = 460 रु।

खंड 4: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” कैप्सूल

• शून्य (Zeros) काटें: अनुपात निकालते समय निवेश के पीछे के बराबर शून्य पहले ही काट दें (जैसे 45000:30000 को 45:30 -> 3:2 लिखें)।
• समय का ध्यान: यदि एक का समय वर्ष में और दूसरे का महीने में है, तो दोनों को महीने में बदलें।
• पूंजी वापस लेना: यदि कोई 6 महीने बाद अपनी आधी पूंजी निकाल लेता है, तो उसे ऐसे लिखें: (P × 6) + (P/2 × 6).
• अनुपात का उल्टा: यदि लाभ का अनुपात और निवेश का अनुपात दिया हो और समय का अनुपात पूछा हो, तो लाभ/निवेश करें।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. A, B और C ने 5:6:8 के अनुपात में पूंजी लगाई। यदि उनके समय का अनुपात 2:3:5 हो, तो उनके लाभ का अनुपात क्या होगा?
2. एक व्यापार में A कुल पूंजी का 1/3 भाग 1/3 समय के लिए लगाता है, B कुल पूंजी का 1/6 भाग 1/6 समय के लिए और C शेष पूंजी पूरे समय के लिए लगाता है। 4600 रु के लाभ में B का हिस्सा क्या है?
3. राम ने 45000 रु लगाकर दुकान खोली। कुछ महीने बाद श्याम 30000 रु लगाकर शामिल हो गया। वर्ष के अंत में लाभ 2:1 में बांटा गया। श्याम कितने महीने बाद आया?
4. दो साझेदार A और B के निवेश का अनुपात 11:12 है और उनके लाभ का अनुपात 2:3 है। यदि A ने 8 महीने निवेश किया, तो B ने कितने महीने किया?

— साझेदारी का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: मिश्रण (Alligation and Mixture) का अभ्यास करें। —

अध्याय 15: आयु संबंधी प्रश्न (Problems on Ages) – संपूर्ण मार्गदर्शिका

“समय के साथ बढ़ती उम्र और अनुपातों के संतुलन का गणितीय विश्लेषण”

आयु संबंधी प्रश्न मुख्य रूप से ‘अनुपात और समानुपात’ तथा ‘रैखिक समीकरण’ (Linear Equations) पर आधारित होते हैं। इन प्रश्नों में अक्सर दो या दो से अधिक व्यक्तियों की वर्तमान, भूतकाल या भविष्य की आयु के बीच संबंध दिया जाता है। छात्र अक्सर इन सवालों में ‘X’ मानकर उलझ जाते हैं, लेकिन अनुपात की सही समझ से इन्हें बिना पेन उठाए भी हल किया जा सकता है।

खंड 1: आयु संबंधी बुनियादी नियम (Basic Rules)

सवालों को हल करने से पहले इन तीन सुनहरे नियमों को याद रखें:

• नियम 1 (अंतर हमेशा समान): दो व्यक्तियों की आयु का अंतर (Difference) जीवनभर समान रहता है। यदि आज राम श्याम से 5 साल बड़ा है, तो 20 साल बाद भी वह 5 साल ही बड़ा रहेगा।
• नियम 2 (समय का प्रभाव): यदि वर्तमान आयु ‘x’ है, तो ‘n’ वर्ष पहले आयु (x – n) थी और ‘n’ वर्ष बाद आयु (x + n) होगी।
• नियम 3 (योग पर प्रभाव): यदि दो व्यक्तियों की वर्तमान आयु का योग 50 वर्ष है, तो 5 वर्ष बाद उनका योग 50 + 5 + 5 = 60 वर्ष होगा (क्योंकि दोनों की उम्र 5-5 साल बढ़ेगी)।

खंड 2: महत्वपूर्ण प्रकार और हल करने की ट्रिक्स

1. अनुपात पर आधारित प्रश्न:

जब दो समय अवधियों के अनुपात दिए हों, तो सबसे पहले उनके ‘अंतर’ को समान करें।

उदाहरण: A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 4:5 है। 5 वर्ष बाद यह 5:6 हो जाता है।

यहाँ अनुपात का अंतर (5-4) और (6-5) दोनों 1 यूनिट हैं।

1 यूनिट = 5 वर्ष।

A की वर्तमान आयु = 4 × 5 = 20 वर्ष।

B की वर्तमान आयु = 5 × 5 = 25 वर्ष।

2. ‘गुना’ (Times) पर आधारित प्रश्न:

यदि पिता की आयु पुत्र की आयु की 3 गुनी है, तो अनुपात 3:1 होगा।

उदाहरण: पिता की आयु पुत्र से 3 गुनी है। 10 वर्ष बाद वह दुगुनी हो जाएगी।

वर्तमान: 3 : 1 (अंतर 2)

10 वर्ष बाद: 2 : 1 (अंतर 1) -> इसे 2 से गुणा करें -> 4 : 2

अब अंतर समान है। 3 से 4 बढ़ा यानी 1 यूनिट = 10 वर्ष।

पिता की आयु = 3 × 10 = 30 वर्ष।

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न (Solved)

प्रश्न 1: राम और श्याम की वर्तमान आयु का योग 40 वर्ष है। 5 वर्ष पूर्व उनकी आयु का अनुपात 2:1 था। राम की वर्तमान आयु क्या है?

समाधान:

Step 1: वर्तमान योग = 40.

Step 2: 5 वर्ष पूर्व योग = 40 – 5 – 5 = 30 वर्ष।

Step 3: 5 वर्ष पूर्व अनुपात = 2:1 (कुल 3 यूनिट)।

3 यूनिट = 30 -> 1 यूनिट = 10.

5 वर्ष पूर्व राम = 2 × 10 = 20 वर्ष।

वर्तमान में राम = 20 + 5 = 25 वर्ष।

उत्तर: 25 वर्ष

प्रश्न 2: एक पिता की आयु उसके पुत्र की आयु की 4 गुनी है। 5 वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की 7 गुनी थी। पिता की वर्तमान आयु क्या है?

समाधान (तिरछा गुणा विधि – Cross Multiplication):

वर्तमान: 4 : 1

5 वर्ष पूर्व: 7 : 1

[(4×1) – (7×1)] यूनिट = 5 वर्ष × (7 – 1)

|4 – 7| यूनिट = 5 × 6

3 यूनिट = 30 -> 1 यूनिट = 10.

पिता की वर्तमान आयु = 4 × 10 = 40 वर्ष।

उत्तर: 40 वर्ष

खंड 4: औसत और आयु (Average & Ages)

जब किसी समूह (परिवार या कक्षा) की औसत आयु दी जाती है, तो हमेशा ‘कुल योग’ निकालें।

कुल आयु = औसत आयु × सदस्यों की संख्या

उदाहरण: 3 वर्ष पहले 5 सदस्यों के परिवार की औसत आयु 17 वर्ष थी। एक बच्चा पैदा होने के बाद आज भी औसत आयु वही (17) है। बच्चे की उम्र क्या है?

3 वर्ष पहले कुल योग = 5 × 17 = 85.

आज 5 सदस्यों का योग (यदि बच्चा न होता) = 85 + (5 × 3) = 100.

आज 6 सदस्यों (बच्चे सहित) का योग = 6 × 17 = 102.

बच्चे की आयु = 102 – 100 = 2 वर्ष।

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स

• X मानने से बचें: अनुपात का उपयोग करें, यह समय बचाता है।
• विकल्पों का प्रयोग (Option Elimination): आयु के सवालों में अक्सर विकल्पों को प्रश्न की शर्तों में रखकर देखें, उत्तर 5 सेकंड में मिल सकता है।
• सावधानी: प्रश्न में अंत में ध्यान से पढ़ें कि आयु ‘वर्तमान’ पूछी है, ‘5 साल बाद’ या ‘5 साल पहले’।
• योग और अंतर: यदि दो व्यक्तियों की आयु का योग और अंतर दिया हो, तो बड़े की आयु = (योग + अंतर)/2 और छोटे की = (योग – अंतर)/2.

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 3:4 है। 10 वर्ष पूर्व यह 1:2 था। B की वर्तमान आयु क्या है?
2. रीना और उसकी माता की आयु का योग 49 वर्ष है। 7 वर्ष पूर्व माता की आयु रीना से 4 गुनी थी। रीना की माता की वर्तमान आयु क्या है?
3. विवाह के समय एक पति-पत्नी की औसत आयु 23 वर्ष थी। 5 वर्ष बाद उनका 1 वर्ष का बच्चा है। अब पूरे परिवार की औसत आयु क्या है?
4. 6 वर्ष पूर्व सुशील की आयु स्नेहल की आयु की तिगुनी थी। 6 वर्ष बाद सुशील की आयु स्नेहल की आयु का 5/3 गुना होगी। स्नेहल की वर्तमान आयु क्या है?

— आयु संबंधी प्रश्नों का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: साझेदारी (Partnership) का अभ्यास करें। —

अध्याय 14: अनुपात और समानुपात (Ratio & Proportion) – पूर्ण मार्गदर्शिका

“संख्याओं के बीच तुलनात्मक संबंध और समानता का गणितीय आधार”

अनुपात और समानुपात गणित का वह हिस्सा है जो हमें बताता है कि एक राशि दूसरी राशि की तुलना में कितनी गुना है। यदि हम कहें कि A और B के पास धन का अनुपात 2:3 है, तो इसका अर्थ है कि यदि A के पास 2 रुपये हैं, तो B के पास 3 रुपये होंगे। प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, Bank, Railway) में यह अध्याय ‘रामबाण’ माना जाता है क्योंकि इसके माध्यम से बड़े-बड़े सवालों को बिना X माने हल किया जा सकता है।

खंड 1: अनुपात (Ratio) क्या है?

अनुपात दो समान इकाइयों वाली राशियों के बीच का तुलनात्मक संबंध है। इसे ‘:’ चिह्न से दर्शाया जाता है।

• सरल रूप: अनुपात हमेशा अपने सबसे छोटे रूप में होता है। जैसे 10:15 को हम 2:3 लिखेंगे।
• वर्गानुपात (Duplicate Ratio): a:b का वर्गानुपात a² : b² होता है।
• वर्गमूलानुपात (Sub-duplicate Ratio): a:b का वर्गमूलानुपात √a : √b होता है।
• व्युत्क्रमानुपात (Inverse Ratio): a:b का उल्टा अनुपात b:a होता है।

खंड 2: समानुपात (Proportion) क्या है?

जब दो अनुपात आपस में बराबर हों, तो उन्हें ‘समानुपात’ कहा जाता है। इसे ‘::’ चिह्न से दर्शाया जाता है। यदि a:b = c:d, तो हम इसे a:b :: c:d लिखते हैं।

महत्वपूर्ण नियम:

समानुपात में: बाहरी पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल (a × d = b × c)

प्रमुख प्रकार:

• मध्यानुपाती (Mean Proportional): a और b का मध्यानुपाती = √(a × b).
• तृतीयानुपाती (Third Proportional): a और b का तृतीयानुपाती = b² / a.
• चतुर्थानुपाती (Fourth Proportional): a, b, c का चतुर्थानुपाती = (b × c) / a.

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1: यदि A:B = 2:3 और B:C = 4:5 हो, तो A:B:C का मान क्या होगा?

समाधान (कब्जा विधि – Best Trick):

Step 1: A B C को लिखें।

Step 2: पहली लाइन में 2 3 लिखें। 3 के आगे खाली जगह में 3 भरें।

Step 3: दूसरी लाइन में 4 5 लिखें। 4 के पीछे खाली जगह में 4 भरें।

A : B : C

2 : 3 : (3)

(4) : 4 : 5

गुणा करें: (2×4) : (3×4) : (3×5) = 8 : 12 : 15.

उत्तर: 8 : 12 : 15

प्रश्न 2: 675 रुपये को A और B में 5:4 के अनुपात में बांटें।

समाधान:

कुल अनुपात = 5 + 4 = 9 यूनिट।

9 यूनिट = 675 रुपये।

1 यूनिट = 675 / 9 = 75 रुपये।

A का हिस्सा = 5 × 75 = 375 रुपये।

B का हिस्सा = 4 × 75 = 300 रुपये।

उत्तर: 375 और 300 रुपये

प्रश्न 3: एक थैले में 1 रुपये, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 5:6:8 के अनुपात में हैं। यदि कुल मूल्य 240 रुपये हो, तो 25 पैसे के सिक्कों की संख्या क्या है?

समाधान:

सिक्कों का मूल्य अनुपात बनाएं:

1 रु के 5 सिक्के = 5.00 रु

50 पैसे के 6 सिक्के = 3.00 रु

25 पैसे के 8 सिक्के = 2.00 रु

कुल मूल्य अनुपात = 5+3+2 = 10 यूनिट।

10 यूनिट = 240 रु -> 1 यूनिट = 24 रु।

25 पैसे के सिक्कों का मूल्य = 2 × 24 = 48 रु।

सिक्कों की संख्या = 48 × 4 = 192.

उत्तर: 192 सिक्के

खंड 4: विशेष प्रकार के प्रश्न और ट्रिक्स

1. आय और व्यय (Income & Expenditure):

आय – बचत = खर्च। यदि आय का अनुपात और बचत की राशि दी हो, तो हम क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन (तिरछा गुणा) विधि से इसे 10 सेकंड में हल कर सकते हैं।

2. मिश्रण (Milk & Water):

जब दो मिश्रणों को मिलाया जाता है, तो अनुपात को समान करने के लिए एल.सी.एम. (LCM) का सहारा लिया जाता है।

3. आयु संबंधी प्रश्न (Age Problems):

अनुपात का अंतर हमेशा समान रहना चाहिए। यदि आज अंतर 2 है, तो 10 साल बाद भी अंतर 2 ही रहेगा। यदि नहीं है, तो गुणा करके समान करें।

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स

• अनुपात का जुड़ाव: यदि A/B = 2/3 है, तो आप A=2k और B=3k मान सकते हैं।
• समानुपात ट्रिक: मध्यानुपाती (Mean Proportional) निकालना सबसे ज्यादा पूछा जाता है, बस दी गई दोनों संख्याओं का गुणा करके वर्गमूल (Root) निकाल दें।
• सिक्कों वाले सवाल: हमेशा ‘मूल्य’ और ‘संख्या’ के बीच के फर्क को समझें। 50 पैसे के 2 सिक्के मिलकर 1 रुपया बनाते हैं।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. यदि A का 15% = B का 20% हो, तो A:B क्या होगा?
2. 4 और 64 का मध्यानुपाती ज्ञात करें।
3. दो संख्याओं का अनुपात 3:5 है। यदि प्रत्येक में 9 जोड़ दिया जाए, तो अनुपात 12:23 हो जाता है। संख्याएं क्या हैं?
4. सोना पानी से 19 गुना भारी है और तांबा 9 गुना। इन्हें किस अनुपात में मिलाएं कि मिश्रण 15 गुना भारी हो जाए? (संकेत: मिश्रण विधि लगाएं)।

— अनुपात और समानुपात का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: आयु संबंधी प्रश्न (Problems on Ages) का अभ्यास करें। —

अध्याय 13: नाव और धारा (Boats & Streams) – संपूर्ण मार्गदर्शिका

“पानी के प्रवाह और गति के तालमेल को समझने का विज्ञान”

नाव और धारा का अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं में उम्मीदवारों की तार्किक क्षमता को परखने के लिए पूछा जाता है। जहाँ सामान्य गति में केवल वस्तु की चाल मायने रखती है, वहीं पानी में नाव की चाल इस बात पर निर्भर करती है कि वह धारा की दिशा में जा रही है या उसके विपरीत। इस अध्याय के सवाल अक्सर नदी, तैराक और मोटरबोट के इर्द-गिर्द घूमते हैं।

खंड 1: महत्वपूर्ण शब्दावली और मूल सिद्धांत

सवालों को हल करने के लिए इन चार बुनियादी मानों को समझना बहुत जरूरी है:

• शांत जल में नाव की चाल (u): जब पानी बिल्कुल स्थिर हो (जैसे तालाब), तब नाव की अपनी असली चाल।
• धारा की चाल (v): नदी के बहते हुए पानी की अपनी चाल।
• अनुप्रवाह या अनुकूल चाल (Downstream – D): जब नाव धारा की दिशा में चलती है। इसमें नाव और पानी दोनों की चालें जुड़ जाती हैं। (D = u + v)
• उर्ध्वप्रवाह या प्रतिकूल चाल (Upstream – U): जब नाव धारा के विपरीत दिशा में चलती है। इसमें नाव की चाल में से पानी की चाल घट जाती है। (U = u – v)

खंड 2: अनिवार्य सूत्र (Essential Formulas)

यदि आपको अनुकूल (D) और प्रतिकूल (U) चालें पता हों, तो आप नाव और धारा की व्यक्तिगत चालें इन सूत्रों से निकाल सकते हैं:

याद रखने वाली बात: नाव की चाल (u) हमेशा धारा की चाल (v) से अधिक होनी चाहिए, अन्यथा नाव धारा के विपरीत कभी आगे नहीं बढ़ पाएगी।

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1: एक नाव की शांत जल में चाल 10 किमी/घंटा है और धारा की चाल 2 किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल 36 किमी जाने में नाव को कितना समय लगेगा?

समाधान:

u = 10, v = 2.

अनुकूल चाल (D) = 10 + 2 = 12 किमी/घंटा।

समय = दूरी / चाल = 36 / 12 = 3 घंटे।

उत्तर: 3 घंटे

प्रश्न 2: एक तैराक धारा के अनुकूल 18 किमी/घंटा और धारा के प्रतिकूल 12 किमी/घंटा की चाल से तैर सकता है। तैराक की शांत जल में चाल और धारा की चाल ज्ञात करें।

समाधान:

D = 18, U = 12.

तैराक की चाल (u) = (18 + 12) / 2 = 30 / 2 = 15 किमी/घंटा।

धारा की चाल (v) = (18 – 12) / 2 = 6 / 2 = 3 किमी/घंटा।

उत्तर: 15 किमी/घंटा और 3 किमी/घंटा

प्रश्न 3: एक नाव धारा के प्रतिकूल जाने में धारा के अनुकूल जाने की तुलना में दुगुना समय लेती है। यदि धारा की चाल 3 किमी/घंटा हो, तो नाव की चाल क्या होगी?

समाधान (ट्रिक):

u = v × [(t₂ + t₁) / (t₂ – t₁)]

यहाँ v = 3, समय का अनुपात = 2 : 1.

u = 3 × [(2 + 1) / (2 – 1)] = 3 × 3 = 9 किमी/घंटा।

उत्तर: 9 किमी/घंटा

खंड 4: विशेष प्रकार के प्रश्न और शॉर्टकट

1. औसत चाल (Average Speed) पानी में:

यदि नाव एक निश्चित दूरी जाकर वापस आती है, तो औसत चाल = (D × U) / u. (यह सामान्य औसत चाल के सूत्र 2xy/(x+y) से ही निकला है)।

2. निश्चित दूरी वाले सवाल:

यदि नाव किसी स्थान पर जाकर वापस आने में कुल ‘T’ समय लेती है, तो दूरी:

दूरी = T × (u² – v²) / 2u

3. तुलनात्मक समय:

जब प्रश्न में दिया हो कि धारा के साथ जाने में ‘x’ समय और विपरीत आने में ‘y’ समय लगता है, तो हमेशा (u+v) और (u-v) के समीकरण बनाकर हल करना सबसे सुरक्षित होता है।

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स

• दिशा का ध्यान: ‘With the stream’ मतलब अनुकूल (+), ‘Against the stream’ मतलब प्रतिकूल (-)।
• इकाई (Unit): किमी/घंटा को मी/सेकंड में बदलना न भूलें (5/18 से गुणा)।
• स्थिरता: शांत जल में चाल (u) हमेशा अनुकूल और प्रतिकूल चालों का ‘औसत’ (माध्य) होती है।
• सावधानी: परीक्षा में अक्सर ‘नाव की चाल’ की जगह ‘तैराक की चाल’ या ‘व्यक्ति की चाल’ लिखा होता है, नियम सब पर एक ही लागू होते हैं।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. एक नाव 8 घंटे में धारा के अनुकूल 40 किमी जाती है और 10 घंटे में धारा के प्रतिकूल 30 किमी आती है। धारा की चाल क्या है?
2. शांत जल में नाव की चाल 15 किमी/घंटा है। धारा की चाल 3 किमी/घंटा है। धारा के विपरीत 60 किमी जाने में कितना समय लगेगा?
3. एक तैराक धारा की दिशा में 1 किमी 6 मिनट में और धारा के विपरीत 1 किमी 10 मिनट में जाता है। धारा की गति क्या है?
4. यदि धारा की चाल नाव की चाल की आधी हो, तो अनुकूल और प्रतिकूल चालों का अनुपात क्या होगा?

— नाव और धारा का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion) का अभ्यास करें। —

अध्याय 12: समय, चाल और दूरी (Time, Speed & Distance) – पूर्ण मार्गदर्शिका

“गति की गणना और यात्रा के समीकरणों को समझने का आधार”

समय, चाल और दूरी का अध्याय भौतिकी और गणित का एक सुंदर संगम है। यह अध्याय हमें बताता है कि किसी निश्चित दूरी को तय करने में हमारी गति और समय के बीच क्या संबंध होता है। प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, Railway, Bank, Police) में इस अध्याय से ‘रेलगाड़ी’, ‘औसत चाल’ और ‘चोर-पुलिस’ वाले प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं।

खंड 1: बुनियादी सूत्र और इकाइयाँ (Basic Formulas)

इस पूरे अध्याय की नींव केवल एक मुख्य सूत्र पर टिकी है:

अन्य सहायक सूत्र:

1. चाल = दूरी / समय

2. समय = दूरी / चाल

इकाइयों का रूपांतरण (Units Conversion):

परीक्षा में अक्सर दूरी किलोमीटर में और समय सेकंड में दिया होता है। इन्हें बदलना बहुत जरूरी है:

• किमी/घंटा से मी/सेकंड में: संख्या को 5/18 से गुणा करें।
  
  उदाहरण: 72 किमी/घंटा = 72 × 5/18 = 20 मी/सेकंड।
• मी/सेकंड से किमी/घंटा में: संख्या को 18/5 से गुणा करें।
  
  उदाहरण: 10 मी/सेकंड = 10 × 18/5 = 36 किमी/घंटा।

खंड 2: औसत चाल और सापेक्ष चाल (Concepts)

1. औसत चाल (Average Speed):

जब कोई व्यक्ति दो समान दूरियाँ अलग-अलग चाल (x और y) से तय करता है:

2. सापेक्ष चाल (Relative Speed):

जब दो वस्तुएँ एक साथ गतिमान हों:

• समान दिशा में: चालें घट जाती हैं (x – y)।
• विपरीत दिशा में: चालें जुड़ जाती हैं (x + y)।

खंड 3: रेलगाड़ी (Trains) से संबंधित विशेष प्रश्न

रेलगाड़ी के सवालों में ‘दूरी’ का चुनाव सबसे महत्वपूर्ण होता है:

• यदि ट्रेन किसी खंभे या व्यक्ति को पार करे: दूरी = ट्रेन की लंबाई।
• यदि ट्रेन किसी पुल या प्लेटफॉर्म को पार करे: दूरी = ट्रेन की लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई।

प्रश्न 1: 300 मीटर लंबी एक रेलगाड़ी 54 किमी/घंटा की चाल से एक खंभे को कितने समय में पार करेगी?

समाधान:

Step 1: चाल को मी/सेकंड में बदलें: 54 × 5/18 = 15 मी/सेकंड।

Step 2: समय = दूरी / चाल = 300 / 15 = 20 सेकंड।

उत्तर: 20 सेकंड

खंड 4: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न (Solved)

प्रश्न 2: एक चोर 200 मीटर की दूरी से एक पुलिसकर्मी को देखता है और 10 किमी/घंटा की चाल से भागने लगता है। पुलिसकर्मी 11 किमी/घंटा की चाल से उसका पीछा करता है। 6 मिनट बाद उनके बीच की दूरी क्या होगी?

समाधान:

सापेक्ष चाल = 11 – 10 = 1 किमी/घंटा = 5/18 मी/सेकंड।

6 मिनट = 360 सेकंड।

6 मिनट में पुलिस द्वारा कम की गई दूरी = (5/18) × 360 = 100 मीटर।

शेष दूरी = 200 – 100 = 100 मीटर।

उत्तर: 100 मीटर

प्रश्न 3: एक व्यक्ति अपनी सामान्य चाल के 3/4 भाग से चलने पर अपने कार्यालय 20 मिनट देरी से पहुँचता है। उसका सामान्य समय क्या है?

समाधान (शानदार ट्रिक):

सामान्य समय = [अंश / (अंश और हर का अंतर)] × देरी

= [3 / (4 – 3)] × 20 = 3 × 20 = 60 मिनट।

उत्तर: 60 मिनट (1 घंटा)

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स

• अनुपात का खेल: यदि दूरी समान है, तो चाल का अनुपात समय के अनुपात का उल्टा होगा। (Speed ∝ 1/Time)।
• देरी और जल्दी वाले सवाल: यदि एक बार देरी और एक बार जल्दी हो, तो समय को जोड़ दें। यदि दोनों बार देरी हो, तो समय घटा दें।
• स्टॉपेज (Stoppage) ट्रिक: बिना रुके चाल – रुककर चाल / बिना रुके चाल × 60 = प्रति घंटा रुकने का समय।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. एक कार 2 घंटे में 120 किमी की दूरी तय करती है। उसकी चाल मी/सेकंड में क्या होगी?
2. दो रेलगाड़ियाँ जिनकी लंबाई क्रमशः 150 मी और 180 मी है, विपरीत दिशा में 50 किमी/घंटा और 58 किमी/घंटा की चाल से चल रही हैं। वे एक-दूसरे को कितने समय में पार करेंगी?
3. एक कुत्ता एक बिल्ली का पीछा करता है जो उससे 150 मीटर आगे है। यदि कुत्ते की चाल 30 मीटर/मिनट और बिल्ली की 25 मीटर/मिनट हो, तो कुत्ता बिल्ली को कब पकड़ेगा?
4. शांत जल में एक नाव की चाल 10 किमी/घंटा है और धारा की चाल 2 किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल (Downstream) नाव की चाल क्या होगी?

— समय, चाल और दूरी का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: नाव और धारा (Boats and Streams) का अभ्यास करें। —

अध्याय 11: पाइप और टंकी (Pipes and Cisterns) – संपूर्ण मार्गदर्शिका

“समय और कार्य के सिद्धांतों का तरल अनुप्रयोग”

पैसे और समय के बाद, पाइप और टंकी का अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं में एक अनिवार्य हिस्सा है। यह अध्याय पूरी तरह से ‘समय और कार्य’ के नियमों पर चलता है, लेकिन इसमें एक मुख्य अंतर है—जहाँ ‘समय और कार्य’ में सभी व्यक्ति मिलकर काम को पूरा करते हैं, वहीं ‘पाइप और टंकी’ में कुछ नल टंकी को **भरने** का काम करते हैं और कुछ नल (निकासी पाइप) टंकी को **खाली करने** का काम करते हैं।

खंड 1: बुनियादी अवधारणाएँ (Basic Concepts)

इस अध्याय को समझने के लिए तीन प्रमुख बातों का ध्यान रखें:

• भरने वाला पाइप (Inlet Pipe): यह पाइप टंकी में पानी भरता है। इसकी कार्यक्षमता को हमेशा धनात्मक (+) माना जाता है।
• खाली करने वाला पाइप (Outlet Pipe): यह पाइप टंकी से पानी बाहर निकालता है। इसकी कार्यक्षमता को हमेशा ऋणात्मक (-) माना जाता है।
• टंकी की क्षमता (Capacity): नलों द्वारा लिए गए समय का लसवि (L.C.M.) ही टंकी की कुल क्षमता मानी जाती है।

खंड 2: महत्वपूर्ण सूत्र और नियम

1. दो नलों का मिलकर काम करना:

यदि पाइप A टंकी को ‘x’ घंटे में भरता है और पाइप B ‘y’ घंटे में भरता है, तो दोनों मिलकर उसे:

समय = (x × y) / (x + y) घंटे में भरेंगे।

2. एक भरने वाला और एक खाली करने वाला पाइप:

यदि पाइप A टंकी को ‘x’ घंटे में भरता है और पाइप B उसे ‘y’ घंटे में खाली करता है (जहाँ y > x), तो टंकी भरने में लगा समय:

समय = (x × y) / (y – x) घंटे।

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1: पाइप A एक टंकी को 12 घंटे में और पाइप B उसे 15 घंटे में भर सकता है। यदि दोनों नलों को एक साथ खोल दिया जाए, तो पूरी टंकी कितने समय में भरेगी?

समाधान (L.C.M. विधि):

Step 1: 12 और 15 का लसवि (LCM) = 60 यूनिट (टंकी की कुल क्षमता)।

Step 2: पाइप A की क्षमता = 60 / 12 = 5 यूनिट/घंटा।

Step 3: पाइप B की क्षमता = 60 / 15 = 4 यूनिट/घंटा।

Step 4: दोनों की कुल क्षमता = 5 + 4 = 9 यूनिट/घंटा।

Step 5: कुल समय = 60 / 9 = 20 / 3 = 6 घंटे 40 मिनट।

उत्तर: 6 घंटे 40 मिनट

प्रश्न 2: पाइप A एक टंकी को 10 घंटे में भरता है, लेकिन टंकी की तली में छेद होने के कारण इसे भरने में 12 घंटे लगते हैं। वह छेद पूरी टंकी को कितने समय में खाली कर देगा?

समाधान:

माना छेद पाइप B है।

A की क्षमता = 1/10 (भरने वाला)।

A और B (छेद) की संयुक्त क्षमता = 1/12.

B की क्षमता = 1/12 – 1/10 = (5 – 6) / 60 = -1/60.

ऋणात्मक चिह्न खाली करने को दर्शाता है। अतः छेद 60 घंटे में टंकी खाली कर देगा।

उत्तर: 60 घंटे

प्रश्न 3: दो नल A और B क्रमशः 20 और 30 मिनट में टंकी भरते हैं। दोनों को साथ खोला गया, लेकिन 5 मिनट बाद पाइप A को बंद कर दिया गया। शेष टंकी भरने में B को कितना समय लगेगा?

समाधान:

LCM (20, 30) = 60 यूनिट।

A की क्षमता = 3, B की क्षमता = 2.

5 मिनट में दोनों ने भरा = 5 × (3 + 2) = 25 यूनिट।

शेष काम = 60 – 25 = 35 यूनिट।

B द्वारा लिया गया समय = 35 / 2 = 17.5 मिनट।

उत्तर: 17.5 मिनट

खंड 4: विशेष प्रकार के प्रश्न और ट्रिक्स

1. बारी-बारी से पाइप खोलना (Alternative Pipes):

यदि पहले घंटे पाइप A और दूसरे घंटे पाइप B खोला जाए, तो 2 घंटे का एक ‘चक्र’ (Cycle) बनाकर हल करें। ध्यान रहे कि अंतिम चरण में भरने वाला पाइप ही टंकी को पूर्ण करेगा।

2. रिसाव (Leakage) वाले सवाल:

रिसाव हमेशा एक खाली करने वाले पाइप (-ve) की तरह व्यवहार करता है। इसे कुल क्षमता में से घटाया जाता है।

3. नलों का व्यास (Diameter) और प्रवाह:

नल से निकलने वाले पानी की मात्रा उसके व्यास के वर्ग (Square of Diameter) के समानुपाती होती है। यदि व्यास दुगुना है, तो पानी चार गुना निकलेगा।

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स

• चिह्न (+) और (-) का खेल: भरने वाले के लिए हमेशा प्लस और निकालने वाले के लिए माइनस का उपयोग करें, इससे कभी गलती नहीं होगी।
• पूर्ण क्षमता: यदि प्रश्न में कहा जाए कि टंकी 1/3 भरी है, तो शेष 2/3 भाग पर ही गणना करें।
• समय की इकाई: यदि एक नल घंटे में और दूसरा मिनट में दिया है, तो दोनों को एक ही इकाई में बदलें।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. तीन नल A, B और C एक टंकी को क्रमशः 10, 15 और 30 घंटे में भरते हैं। तीनों मिलकर उसे कितने समय में भरेंगे?
2. पाइप A टंकी को 4 घंटे में भरता है और पाइप B उसे 6 घंटे में खाली करता है। दोनों साथ खोलें तो टंकी कब भरेगी?
3. एक पाइप की क्षमता दूसरे से तिगुनी है। यदि दोनों मिलकर टंकी 36 मिनट में भरते हैं, तो धीमा पाइप उसे कितने समय में भरेगा?
4. नल A टंकी को 20 मिनट में भरता है। 5 मिनट तक चलने के बाद पता चला कि निकास पाइप खुला था, जिससे टंकी भरने में 5 मिनट ज्यादा लगे। निकास पाइप की क्षमता ज्ञात करें।

— पाइप और टंकी का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: समय, चाल और दूरी (Time, Speed and Distance) का अभ्यास करें। —