अध्याय 17: मिश्रण (Alligation & Mixture) – संपूर्ण मार्गदर्शिका

“सस्ती और महंगी वस्तुओं के मेल का गणितीय संतुलन”

मिश्रण गणित का वह अध्याय है जो हमें सिखाता है कि जब दो अलग-अलग गुणों या कीमतों वाली वस्तुओं को मिलाया जाता है, तो प्राप्त मिश्रण का मूल्य क्या होगा और उन्हें किस अनुपात में मिलाया गया है। Alligation एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग औसत, लाभ-हानि, ब्याज और समय-दूरी के सवालों को पलक झपकते ही हल करने के लिए किया जाता है।

खंड 1: एलीगेशन (Alligation) का नियम

एलीगेशन का नियम तब लगाया जाता है जब दो अलग-अलग समूहों (Group A और Group B) का व्यक्तिगत मान और उनका ‘औसत मान’ (Mean Value) दिया हो।

नियम:

1. सस्ती वस्तु की कीमत (Cheaper – C)

2. महंगी वस्तु की कीमत (Dearer – D)

3. औसत मूल्य (Mean – M)

अनुपात = (D – M) : (M – C)

शर्त: औसत मूल्य (M) हमेशा एक संख्या से बड़ा और दूसरी से छोटा होना चाहिए।

खंड 2: महत्वपूर्ण प्रकार और समाधान (Solved Examples)

प्रश्न 1: 15 रु प्रति किलो वाले चावल को 20 रु प्रति किलो वाले चावल के साथ किस अनुपात में मिलाएं कि मिश्रण का मूल्य 18 रु प्रति किलो हो जाए?

समाधान (Alligation Method):

सस्ता (C) = 15, महंगा (D) = 20, औसत (M) = 18.

D – M = 20 – 18 = 2.

M – C = 18 – 15 = 3.

अनुपात = 2 : 3

उत्तर: 2 : 3

प्रश्न 2: दूध और पानी के मिश्रण में 10% पानी है। इसमें कितना पानी और मिलाएं कि पानी 20% हो जाए, यदि कुल मिश्रण 40 लीटर है?

समाधान:

पुराना पानी = 10%, नया पानी (जो मिलाना है) = 100%, औसत पानी = 20%.

अनुपात = (100 – 20) : (20 – 10) = 80 : 10 = 8 : 1.

8 यूनिट = 40 लीटर -> 1 यूनिट = 5 लीटर।

अतः 5 लीटर पानी मिलाना होगा।

उत्तर: 5 लीटर

खंड 3: बार-बार बदलने वाला मिश्रण (Replacement Formula)

जब एक बर्तन से कुछ मिश्रण निकालकर उतना ही पानी मिला दिया जाए और यह प्रक्रिया ‘n’ बार दोहराई जाए:

प्रश्न 3: एक बर्तन में 80 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 8 लीटर दूध निकालकर उतना ही पानी मिला दिया गया। यह प्रक्रिया दो बार और दोहराई गई। अब बर्तन में कितना दूध शेष है?

समाधान:

कुल (x) = 80, निकाला (y) = 8, प्रक्रिया (n) = 3 बार।

दूध = 80 [1 – 8/80]³ = 80 [9/10]³

= 80 × 729 / 1000 = 58.32 लीटर।

उत्तर: 58.32 लीटर

खंड 4: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” कैप्सूल

• लाभ-हानि में प्रयोग: यदि एक हिस्सा 10% लाभ और दूसरा 5% हानि पर बेचा जाए और कुल लाभ 2% हो, तो सीधा एलीगेशन लगाएं। (हानि को -5 लिखें)।
• इकाई की समानता: एलीगेशन लगाते समय तीनों मान एक ही इकाई में होने चाहिए (तीनों क्रय मूल्य हों या तीनों विक्रय मूल्य)।
• तिरछा घटाव: हमेशा बड़ी संख्या में से छोटी घटाएं, अनुपात कभी ऋणात्मक (-) नहीं होता।
• प्रतिशत और अनुपात: यदि दूध-पानी का अनुपात 3:2 है, तो दूध = 3/5 भाग या 60% है।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. एक दुकानदार 30 रु प्रति किलो वाली चीनी और 45 रु प्रति किलो वाली चीनी को किस अनुपात में मिलाए कि मिश्रण को 42 रु में बेचने पर 20% का लाभ हो? (संकेत: पहले मिश्रण का क्रय मूल्य निकालें)।
2. दो बर्तनों में दूध और पानी का अनुपात 5:2 और 8:5 है। इन्हें किस अनुपात में मिलाएं कि नए मिश्रण में अनुपात 9:4 हो जाए?
3. एक व्यक्ति के पास 10,000 रु थे। उसने एक हिस्सा 8% और शेष 10% ब्याज पर दिया। यदि उसे औसत 9.2% ब्याज मिला, तो दोनों हिस्से क्या हैं?
4. शुद्ध घी (100 रु/किलो) में वनस्पति तेल (50 रु/किलो) मिलाकर मिश्रण 96 रु में बेचने पर 20% लाभ होता है। किस अनुपात में मिलाया गया?

— मिश्रण का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: क्षेत्रमिति (Mensuration – 2D) का अभ्यास करें। —