अध्याय 18: क्षेत्रमिति (Mensuration 2D) – संपूर्ण मार्गदर्शिका
“आकृतियों के क्षेत्रफल और परिमाप को मापने का विज्ञान”
क्षेत्रमिति (Mensuration) गणित की वह शाखा है जो ज्यामितीय आकृतियों के माप (जैसे लंबाई, चौड़ाई, क्षेत्रफल और परिमाप) से संबंधित है। 2D आकृतियाँ वे होती हैं जिनमें केवल दो विमाएँ (Dimension) होती हैं—लंबाई और चौड़ाई। इन्हें हम समतल कागज पर खींच सकते हैं। इनमें ‘आयतन’ (Volume) नहीं होता, केवल ‘क्षेत्रफल’ होता है।
खंड 1: बुनियादी शब्द और उनकी परिभाषा
- परिमाप (Perimeter): किसी भी बंद आकृति की बाहरी सीमा (Boundary) की कुल लंबाई को परिमाप कहते हैं। इसे मीटर या सेंटीमीटर में मापते हैं।
- क्षेत्रफल (Area): किसी आकृति द्वारा समतल सतह पर घेरे गए कुल स्थान को क्षेत्रफल कहते हैं। इसे हमेशा ‘वर्ग इकाई’ (जैसे वर्ग मीटर या m²) में मापते हैं।
- विकर्ण (Diagonal): किसी आकृति के दो विपरीत कोनों को जोड़ने वाली रेखा।
खंड 2: महत्वपूर्ण आकृतियाँ और उनके सूत्र
1. आयत (Rectangle)
वह चतुर्भुज जिसकी आमने-सामने की भुजाएं बराबर हों और प्रत्येक कोण 90° का हो।
- क्षेत्रफल: लंबाई × चौड़ाई (L × B)
- परिमाप: 2 × (लंबाई + चौड़ाई)
- विकर्ण: √(L² + B²)
2. वर्ग (Square)
वह चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएं बराबर हों और प्रत्येक कोण 90° का हो।
- क्षेत्रफल: भुजा × भुजा (a²) या 1/2 × (विकर्ण)²
- परिमाप: 4 × भुजा (4a)
- विकर्ण: a√2 (भुजा × √2)
3. त्रिभुज (Triangle)
तीन भुजाओं से घिरी बंद आकृति।
- साधारण क्षेत्रफल: 1/2 × आधार × ऊँचाई
- समबाहु त्रिभुज (Equilateral): जिसकी तीनों भुजाएं बराबर हों।
क्षेत्रफल = (√3 / 4) × a² - हीरोन का सूत्र (Heron’s Formula): जब तीनों भुजाएं (a, b, c) अलग हों।
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], जहाँ s = (a+b+c)/2
4. वृत्त (Circle)
एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का पथ।
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- क्षेत्रफल: πr² (π ≈ 22/7 या 3.14)
- परिधि (Circumference): 2πr
- व्यास (Diameter): 2 × त्रिज्या (2r)
खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान
प्रश्न 1: एक आयताकार मैदान की लंबाई 20 मीटर और चौड़ाई 15 मीटर है। इसके चारों ओर बाड़ लगाने का खर्च 10 रुपये प्रति मीटर की दर से क्या होगा?
समाधान:
बाड़ हमेशा परिमाप पर लगती है।
परिमाप = 2 × (20 + 15) = 2 × 35 = 70 मीटर।
कुल खर्च = 70 × 10 = 700 रुपये।
उत्तर: 700 रुपये
प्रश्न 2: एक वर्ग का विकर्ण 10√2 सेमी है। इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
समाधान:
विकर्ण = a√2. अतः 10√2 = a√2 -> भुजा (a) = 10 सेमी।
क्षेत्रफल = a² = 10 × 10 = 100 वर्ग सेमी।
उत्तर: 100 वर्ग सेमी
प्रश्न 3: एक पहिए का व्यास 70 सेमी है। 440 मीटर की दूरी तय करने में यह कितने चक्कर लगाएगा?
समाधान:
व्यास = 70, त्रिज्या (r) = 35 सेमी।
एक चक्कर में दूरी (परिधि) = 2 × 22/7 × 35 = 220 सेमी।
कुल दूरी = 440 मीटर = 44,000 सेमी।
चक्करों की संख्या = 44000 / 220 = 200.
उत्तर: 200 चक्कर
खंड 4: रास्ते वाले सवाल (Pathways) – स्पेशल ट्रिक
परीक्षाओं में मैदान के अंदर या बाहर रास्ता बनाने का सवाल बहुत आता है:
- बाहर रास्ता (चौड़ाई x): क्षेत्रफल = 2x(L + B + 2x)
- अंदर रास्ता (चौड़ाई x): क्षेत्रफल = 2x(L + B – 2x)
- बीचों-बीच रास्ता: क्षेत्रफल = x(L + B – x)
खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” कैप्सूल
- इकाई का ध्यान: यदि लंबाई मीटर में और चौड़ाई सेमी में है, तो पहले दोनों को समान करें।
- प्रतिशत प्रभाव: यदि आयत की लंबाई 10% बढ़ाई जाए और चौड़ाई 10% कम, तो क्षेत्रफल हमेशा 1% कम होगा। (x²/100 नियम)।
- त्रिज्या का खेल: यदि वृत्त की त्रिज्या दुगुनी कर दी जाए, तो परिधि दुगुनी होगी लेकिन क्षेत्रफल चार गुना (2²) बढ़ जाएगा।
- खर्च की गणना: पुताई या टाइल्स लगाने का खर्च हमेशा ‘क्षेत्रफल’ पर निकलता है।
स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)
- एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 8 सेमी है। इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
- दो वर्गों के क्षेत्रफलों का अनुपात 9:16 है। उनके परिमापों का अनुपात क्या होगा?
- एक आयत की लंबाई उसकी चौड़ाई से 5 सेमी अधिक है। यदि परिमाप 50 सेमी हो, तो क्षेत्रफल ज्ञात करें।
- 7 सेमी त्रिज्या वाले अर्धवृत्त (Semi-circle) का परिमाप क्या होगा? (संकेत: πr + 2r)।
— क्षेत्रमिति 2D का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: क्षेत्रमिति 3D (आयतन) का अभ्यास करें। —