अध्याय 14: अनुपात और समानुपात (Ratio & Proportion) – पूर्ण मार्गदर्शिका
“संख्याओं के बीच तुलनात्मक संबंध और समानता का गणितीय आधार”
अनुपात और समानुपात गणित का वह हिस्सा है जो हमें बताता है कि एक राशि दूसरी राशि की तुलना में कितनी गुना है। यदि हम कहें कि A और B के पास धन का अनुपात 2:3 है, तो इसका अर्थ है कि यदि A के पास 2 रुपये हैं, तो B के पास 3 रुपये होंगे। प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, Bank, Railway) में यह अध्याय ‘रामबाण’ माना जाता है क्योंकि इसके माध्यम से बड़े-बड़े सवालों को बिना X माने हल किया जा सकता है।
खंड 1: अनुपात (Ratio) क्या है?
अनुपात दो समान इकाइयों वाली राशियों के बीच का तुलनात्मक संबंध है। इसे ‘:’ चिह्न से दर्शाया जाता है।
- सरल रूप: अनुपात हमेशा अपने सबसे छोटे रूप में होता है। जैसे 10:15 को हम 2:3 लिखेंगे।
- वर्गानुपात (Duplicate Ratio): a:b का वर्गानुपात a² : b² होता है।
- वर्गमूलानुपात (Sub-duplicate Ratio): a:b का वर्गमूलानुपात √a : √b होता है।
- व्युत्क्रमानुपात (Inverse Ratio): a:b का उल्टा अनुपात b:a होता है।
खंड 2: समानुपात (Proportion) क्या है?
जब दो अनुपात आपस में बराबर हों, तो उन्हें ‘समानुपात’ कहा जाता है। इसे ‘::’ चिह्न से दर्शाया जाता है। यदि a:b = c:d, तो हम इसे a:b :: c:d लिखते हैं।
महत्वपूर्ण नियम:
समानुपात में: बाहरी पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल (a × d = b × c)
प्रमुख प्रकार:
- मध्यानुपाती (Mean Proportional): a और b का मध्यानुपाती = √(a × b).
- तृतीयानुपाती (Third Proportional): a और b का तृतीयानुपाती = b² / a.
- चतुर्थानुपाती (Fourth Proportional): a, b, c का चतुर्थानुपाती = (b × c) / a.
खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान
प्रश्न 1: यदि A:B = 2:3 और B:C = 4:5 हो, तो A:B:C का मान क्या होगा?
समाधान (कब्जा विधि – Best Trick):
Step 1: A B C को लिखें।
Step 2: पहली लाइन में 2 3 लिखें। 3 के आगे खाली जगह में 3 भरें।
Step 3: दूसरी लाइन में 4 5 लिखें। 4 के पीछे खाली जगह में 4 भरें।
A : B : C
2 : 3 : (3)
(4) : 4 : 5
गुणा करें: (2×4) : (3×4) : (3×5) = 8 : 12 : 15.
उत्तर: 8 : 12 : 15
प्रश्न 2: 675 रुपये को A और B में 5:4 के अनुपात में बांटें।
समाधान:
कुल अनुपात = 5 + 4 = 9 यूनिट।
9 यूनिट = 675 रुपये।
1 यूनिट = 675 / 9 = 75 रुपये।
A का हिस्सा = 5 × 75 = 375 रुपये।
B का हिस्सा = 4 × 75 = 300 रुपये।
उत्तर: 375 और 300 रुपये
प्रश्न 3: एक थैले में 1 रुपये, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 5:6:8 के अनुपात में हैं। यदि कुल मूल्य 240 रुपये हो, तो 25 पैसे के सिक्कों की संख्या क्या है?
समाधान:
सिक्कों का मूल्य अनुपात बनाएं:
1 रु के 5 सिक्के = 5.00 रु
50 पैसे के 6 सिक्के = 3.00 रु
25 पैसे के 8 सिक्के = 2.00 रु
कुल मूल्य अनुपात = 5+3+2 = 10 यूनिट।
10 यूनिट = 240 रु -> 1 यूनिट = 24 रु।
25 पैसे के सिक्कों का मूल्य = 2 × 24 = 48 रु।
सिक्कों की संख्या = 48 × 4 = 192.
उत्तर: 192 सिक्के
खंड 4: विशेष प्रकार के प्रश्न और ट्रिक्स
1. आय और व्यय (Income & Expenditure):
आय – बचत = खर्च। यदि आय का अनुपात और बचत की राशि दी हो, तो हम क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन (तिरछा गुणा) विधि से इसे 10 सेकंड में हल कर सकते हैं।
2. मिश्रण (Milk & Water):
जब दो मिश्रणों को मिलाया जाता है, तो अनुपात को समान करने के लिए एल.सी.एम. (LCM) का सहारा लिया जाता है।
3. आयु संबंधी प्रश्न (Age Problems):
अनुपात का अंतर हमेशा समान रहना चाहिए। यदि आज अंतर 2 है, तो 10 साल बाद भी अंतर 2 ही रहेगा। यदि नहीं है, तो गुणा करके समान करें।
खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स
- अनुपात का जुड़ाव: यदि A/B = 2/3 है, तो आप A=2k और B=3k मान सकते हैं।
- समानुपात ट्रिक: मध्यानुपाती (Mean Proportional) निकालना सबसे ज्यादा पूछा जाता है, बस दी गई दोनों संख्याओं का गुणा करके वर्गमूल (Root) निकाल दें।
- सिक्कों वाले सवाल: हमेशा ‘मूल्य’ और ‘संख्या’ के बीच के फर्क को समझें। 50 पैसे के 2 सिक्के मिलकर 1 रुपया बनाते हैं।
स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)
- यदि A का 15% = B का 20% हो, तो A:B क्या होगा?
- 4 और 64 का मध्यानुपाती ज्ञात करें।
- दो संख्याओं का अनुपात 3:5 है। यदि प्रत्येक में 9 जोड़ दिया जाए, तो अनुपात 12:23 हो जाता है। संख्याएं क्या हैं?
- सोना पानी से 19 गुना भारी है और तांबा 9 गुना। इन्हें किस अनुपात में मिलाएं कि मिश्रण 15 गुना भारी हो जाए? (संकेत: मिश्रण विधि लगाएं)।
— अनुपात और समानुपात का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: आयु संबंधी प्रश्न (Problems on Ages) का अभ्यास करें। —