Chapter 11: Missing Number (लुप्त संख्या)

रीजनिंग के अंतर्गत लुप्त संख्या यानी मिसिंग नंबर का अध्याय सबसे ज्यादा दिमागी कसरत वाला माना जाता है। इसमें आपको एक आकृति दी जाती है, जैसे कि एक वर्ग, एक गोला या एक त्रिभुज, और उस आकृति के अंदर कुछ संख्याएं लिखी होती हैं। इन संख्याओं में से एक स्थान खाली छोड़ दिया जाता है या वहां प्रश्नवाचक चिन्ह (?) लगा दिया जाता है। आपका मुख्य काम यह होता है कि दी गई बाकी संख्याओं के बीच के गणितीय संबंध को पहचानें और उस खाली स्थान पर आने वाली सही संख्या का पता लगाएं। यह अध्याय आपकी गणना की गति और तार्किक क्षमता को बहुत तेजी से विकसित करता है।

लुप्त संख्या को खोजने के आधारभूत नियम

लुप्त संख्या के सवालों को हल करने के लिए कोई एक निश्चित फार्मूला नहीं होता, लेकिन कुछ पक्के गणितीय नियम हैं जो लगभग हर सवाल में किसी न किसी रूप में इस्तेमाल होते हैं। इन नियमों को समझकर आप कठिन से कठिन सवाल को भी आसानी से डिकोड कर सकते हैं।

सबसे पहले हमें यह देखना चाहिए कि क्या संख्याएं आपस में जुड़ रही हैं या घट रही हैं। यदि संख्याएं धीरे-धीरे बढ़ रही हैं, तो वहां जोड़ का नियम हो सकता है। यदि संख्याएं बहुत तेजी से बढ़ रही हैं, तो वहां गुणा या वर्ग का नियम हो सकता है। इसी तरह, यदि संख्याएं कम हो रही हैं, तो भाग या घटाव का लॉजिक काम करता है। कभी-कभी एक ही सवाल में दो नियम भी लग सकते हैं, जैसे कि किसी संख्या को 2 से गुणा करके उसमें 1 जोड़ देना।

आकृतियों के अनुसार लॉजिक को समझना

लुप्त संख्या के सवालों में आकृति का बहुत महत्व होता है। यदि सवाल एक वर्ग या टेबल (Table) के रूप में है, तो लॉजिक या तो आड़ा (Horizontal) होगा या खड़ा (Vertical)। आपको यह देखना होता है कि बड़ी संख्या किस तरफ है। यदि नीचे की तरफ बड़ी संख्याएं हैं, तो ऊपर की दो या तीन संख्याओं को जोड़कर, गुणा करके या उनके वर्ग का उपयोग करके नीचे वाली संख्या प्राप्त की गई होगी।

यदि सवाल एक गोले (Circle) के रूप में है, तो लॉजिक अक्सर आमने-सामने वाली संख्याओं के बीच होता है। उदाहरण के लिए, एक तरफ 4 लिखा है और उसके ठीक सामने वाली खिड़की में 16, तो आप समझ सकते हैं कि यहाँ वर्ग का नियम चल रहा है। कई बार गोले के चारों तरफ संख्याएं होती हैं और बीच में एक बड़ी संख्या होती है। ऐसी स्थिति में बाहर की सभी संख्याओं को जोड़कर या गुणा करके बीच वाली संख्या लाई जाती है।

वर्ग और घन की महत्वपूर्ण भूमिका

लुप्त संख्या के 50 प्रतिशत से ज्यादा सवाल वर्ग (Square) और घन (Cube) पर आधारित होते हैं। यदि आपको 1 से 30 तक के वर्ग और 1 से 15 तक के घन याद हैं, तो आप सवाल को देखते ही पहचान लेंगे। जैसे अगर कहीं 25, 36 और 49 लिखा है, तो आपके दिमाग में तुरंत आना चाहिए कि ये 5, 6 और 7 के वर्ग हैं। कई बार सीधा वर्ग नहीं दिया जाता, बल्कि वर्ग में 1 जोड़कर या घटाकर दिया जाता है, जैसे 26, 37 और 50। ऐसे सवालों में पैटर्न पकड़ना ही असली चुनौती है।

लुप्त संख्या हल करने की मास्टर ट्रिक्स

सवालों को जल्दी हल करने के लिए सबसे पहले बड़ी संख्याओं पर ध्यान दें। बड़ी संख्याएं हमेशा छोटी संख्याओं के किसी न किसी गणितीय मेल से बनती हैं। यदि टेबल में संख्याओं के बीच का अंतर बहुत कम है, तो पहले पंक्तियों (Rows) या कॉलम (Columns) का योग करके देखें। कई बार सभी पंक्तियों का योग एक समान आता है।

एक और जरूरी ट्रिक है—अभाज्य संख्याओं (Prime Numbers) का ध्यान रखना। यदि बाकी सारी संख्याएं अभाज्य हैं, तो लुप्त स्थान पर भी अगली अभाज्य संख्या ही आएगी। गुणा और भाग के नियमों को चेक करते समय पहाड़ों का तेजी से उपयोग करें। यदि आप नियमित अभ्यास करते हैं, तो आपका दिमाग अपने आप पैटर्न को स्कैन करने लगेगा।

अभ्यास के लिए 15 महत्वपूर्ण प्रश्न और उनके उत्तर

प्रश्न 1: यदि एक टेबल में ऊपर 4 और 5 हैं और नीचे 41 है, तो 6 और 3 के नीचे क्या होगा?
(A) 36 (B) 45 (C) 18 (D) 54
उत्तर: (B) 45
व्याख्या: यहाँ वर्ग करके जोड़ा गया है। 4 का वर्ग 16 और 5 का वर्ग 25, दोनों को जोड़ने पर 41 आता है। इसी तरह 6 का वर्ग 36 और 3 का वर्ग 9, जोड़ने पर 45 आएगा।

प्रश्न 2: एक गोले में 2, 4, 8 और 16 के बाद अगला अंक क्या होगा?
(A) 20 (B) 32 (C) 24 (D) 30
उत्तर: (B) 32
व्याख्या: प्रत्येक संख्या पिछली संख्या की दोगुनी हो रही है। 16 का दोगुना 32 होगा।

प्रश्न 3: 7, 15, 31 के बाद लुप्त संख्या क्या होगी?
(A) 62 (B) 63 (C) 64 (D) 60
उत्तर: (B) 63
व्याख्या: नियम है—संख्या को 2 से गुणा करें और 1 जोड़ दें। 7 गुना 2 = 14+1=15। इसी तरह 31 गुना 2 = 62+1=63।

प्रश्न 4: एक वर्ग में 5, 4, 9 और 10, 8, 18 के बाद 15, 12, ? क्या होगा?
(A) 25 (B) 27 (C) 30 (D) 24
उत्तर: (B) 27
व्याख्या: पहली दो संख्याओं को जोड़ने पर तीसरी संख्या मिल रही है। 15 + 12 = 27।

प्रश्न 5: 1, 8, 27 के बाद खाली स्थान पर क्या आएगा?
(A) 36 (B) 49 (C) 64 (D) 81
उत्तर: (C) 64
व्याख्या: यह घन (Cube) की सीरीज है। 1 का घन, 2 का घन, 3 का घन, अब 4 का घन 64 आएगा।

प्रश्न 6: यदि 3, 5, 4 से बीच में 60 बना है, तो 4, 4, 2 से बीच में क्या बनेगा?
(A) 30 (B) 32 (C) 16 (D) 40
उत्तर: (B) 32
व्याख्या: तीनों बाहर वाली संख्याओं का गुणा किया गया है। 3 गुना 5 गुना 4 = 60। इसी तरह 4 गुना 4 गुना 2 = 32।

प्रश्न 7: 121, 144, 169 के बाद अगला अंक क्या है?
(A) 190 (B) 196 (C) 200 (D) 225
उत्तर: (B) 196
व्याख्या: ये 11, 12, 13 के वर्ग हैं। अगला 14 का वर्ग 196 होगा।

प्रश्न 8: 2, 6, 12, 20 के बाद लुप्त संख्या खोजें।
(A) 25 (B) 30 (C) 28 (D) 32
उत्तर: (B) 30
व्याख्या: अंतर बढ़ रहा है: +4, +6, +8, अब +10 होगा। 20 + 10 = 30।

प्रश्न 9: यदि 8 और 4 से 12 बना है और 10 और 5 से 15 बना है, तो 20 और 10 से क्या बनेगा?
(A) 25 (B) 30 (C) 40 (D) 20
उत्तर: (B) 30
व्याख्या: यह सरल जोड़ का नियम है। 20 + 10 = 30।

प्रश्न 10: एक गोले के चार कोनों पर 2, 2, 2, 2 हैं और बीच में 16 है। यदि दूसरे गोले के कोनों पर 3, 3, 3, 3 हैं तो बीच में क्या होगा?
(A) 12 (B) 81 (C) 27 (D) 9
उत्तर: (B) 81
व्याख्या: चारों कोनों की संख्याओं का आपस में गुणा किया गया है। 3 गुना 3 गुना 3 गुना 3 = 81।

प्रश्न 11: 5, 10, 20, 40 के बाद लुप्त संख्या क्या है?
(A) 50 (B) 80 (C) 60 (D) 70
उत्तर: (B) 80
व्याख्या: संख्याएं हर बार दोगुनी हो रही हैं। 40 का दोगुना 80 होगा।

प्रश्न 12: यदि 100, 50, 25 के बाद अगली संख्या क्या होगी?
(A) 12.5 (B) 10 (C) 5 (D) 0
उत्तर: (A) 12.5
व्याख्या: हर बार संख्या को 2 से भाग दिया जा रहा है। 25 का आधा 12.5 होगा।

प्रश्न 13: 4, 9, 16, 25 के बाद क्या आएगा?
(A) 30 (B) 36 (C) 49 (D) 40
उत्तर: (B) 36
व्याख्या: यह 2, 3, 4, 5 के वर्ग हैं। अगला 6 का वर्ग 36 होगा।

प्रश्न 14: यदि 1, 3, 5, 7 हैं, तो अगला अंक क्या होगा?
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11
उत्तर: (B) 9
व्याख्या: यह विषम संख्याओं (Odd Numbers) की सीरीज है। 7 के बाद अगली विषम संख्या 9 है।

प्रश्न 15: यदि 2, 3, 5, 7, 11 हैं, तो अगला अंक क्या होगा?
(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15
उत्तर: (B) 13
व्याख्या: यह अभाज्य संख्याओं (Prime Numbers) की सीरीज है। 11 के बाद अगली अभाज्य संख्या 13 है।

लुप्त संख्या के इन 15 सवालों का अभ्यास करने से आपको यह समझ आ जाएगा कि संख्याओं के बीच के छिपे हुए पैटर्न को कैसे पकड़ा जाता है। हमेशा सरल लॉजिक से शुरुआत करें और फिर जटिल लॉजिक की ओर बढ़ें।