अध्याय 15: आयु संबंधी प्रश्न (Problems on Ages) – संपूर्ण मार्गदर्शिका

“समय के साथ बढ़ती उम्र और अनुपातों के संतुलन का गणितीय विश्लेषण”

आयु संबंधी प्रश्न मुख्य रूप से ‘अनुपात और समानुपात’ तथा ‘रैखिक समीकरण’ (Linear Equations) पर आधारित होते हैं। इन प्रश्नों में अक्सर दो या दो से अधिक व्यक्तियों की वर्तमान, भूतकाल या भविष्य की आयु के बीच संबंध दिया जाता है। छात्र अक्सर इन सवालों में ‘X’ मानकर उलझ जाते हैं, लेकिन अनुपात की सही समझ से इन्हें बिना पेन उठाए भी हल किया जा सकता है।

खंड 1: आयु संबंधी बुनियादी नियम (Basic Rules)

सवालों को हल करने से पहले इन तीन सुनहरे नियमों को याद रखें:

• नियम 1 (अंतर हमेशा समान): दो व्यक्तियों की आयु का अंतर (Difference) जीवनभर समान रहता है। यदि आज राम श्याम से 5 साल बड़ा है, तो 20 साल बाद भी वह 5 साल ही बड़ा रहेगा।
• नियम 2 (समय का प्रभाव): यदि वर्तमान आयु ‘x’ है, तो ‘n’ वर्ष पहले आयु (x – n) थी और ‘n’ वर्ष बाद आयु (x + n) होगी।
• नियम 3 (योग पर प्रभाव): यदि दो व्यक्तियों की वर्तमान आयु का योग 50 वर्ष है, तो 5 वर्ष बाद उनका योग 50 + 5 + 5 = 60 वर्ष होगा (क्योंकि दोनों की उम्र 5-5 साल बढ़ेगी)।

खंड 2: महत्वपूर्ण प्रकार और हल करने की ट्रिक्स

1. अनुपात पर आधारित प्रश्न:

जब दो समय अवधियों के अनुपात दिए हों, तो सबसे पहले उनके ‘अंतर’ को समान करें।

उदाहरण: A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 4:5 है। 5 वर्ष बाद यह 5:6 हो जाता है।

यहाँ अनुपात का अंतर (5-4) और (6-5) दोनों 1 यूनिट हैं।

1 यूनिट = 5 वर्ष।

A की वर्तमान आयु = 4 × 5 = 20 वर्ष।

B की वर्तमान आयु = 5 × 5 = 25 वर्ष।

2. ‘गुना’ (Times) पर आधारित प्रश्न:

यदि पिता की आयु पुत्र की आयु की 3 गुनी है, तो अनुपात 3:1 होगा।

उदाहरण: पिता की आयु पुत्र से 3 गुनी है। 10 वर्ष बाद वह दुगुनी हो जाएगी।

वर्तमान: 3 : 1 (अंतर 2)

10 वर्ष बाद: 2 : 1 (अंतर 1) -> इसे 2 से गुणा करें -> 4 : 2

अब अंतर समान है। 3 से 4 बढ़ा यानी 1 यूनिट = 10 वर्ष।

पिता की आयु = 3 × 10 = 30 वर्ष।

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न (Solved)

प्रश्न 1: राम और श्याम की वर्तमान आयु का योग 40 वर्ष है। 5 वर्ष पूर्व उनकी आयु का अनुपात 2:1 था। राम की वर्तमान आयु क्या है?

समाधान:

Step 1: वर्तमान योग = 40.

Step 2: 5 वर्ष पूर्व योग = 40 – 5 – 5 = 30 वर्ष।

Step 3: 5 वर्ष पूर्व अनुपात = 2:1 (कुल 3 यूनिट)।

3 यूनिट = 30 -> 1 यूनिट = 10.

5 वर्ष पूर्व राम = 2 × 10 = 20 वर्ष।

वर्तमान में राम = 20 + 5 = 25 वर्ष।

उत्तर: 25 वर्ष

प्रश्न 2: एक पिता की आयु उसके पुत्र की आयु की 4 गुनी है। 5 वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की 7 गुनी थी। पिता की वर्तमान आयु क्या है?

समाधान (तिरछा गुणा विधि – Cross Multiplication):

वर्तमान: 4 : 1

5 वर्ष पूर्व: 7 : 1

[(4×1) – (7×1)] यूनिट = 5 वर्ष × (7 – 1)

|4 – 7| यूनिट = 5 × 6

3 यूनिट = 30 -> 1 यूनिट = 10.

पिता की वर्तमान आयु = 4 × 10 = 40 वर्ष।

उत्तर: 40 वर्ष

खंड 4: औसत और आयु (Average & Ages)

जब किसी समूह (परिवार या कक्षा) की औसत आयु दी जाती है, तो हमेशा ‘कुल योग’ निकालें।

कुल आयु = औसत आयु × सदस्यों की संख्या

उदाहरण: 3 वर्ष पहले 5 सदस्यों के परिवार की औसत आयु 17 वर्ष थी। एक बच्चा पैदा होने के बाद आज भी औसत आयु वही (17) है। बच्चे की उम्र क्या है?

3 वर्ष पहले कुल योग = 5 × 17 = 85.

आज 5 सदस्यों का योग (यदि बच्चा न होता) = 85 + (5 × 3) = 100.

आज 6 सदस्यों (बच्चे सहित) का योग = 6 × 17 = 102.

बच्चे की आयु = 102 – 100 = 2 वर्ष।

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स

• X मानने से बचें: अनुपात का उपयोग करें, यह समय बचाता है।
• विकल्पों का प्रयोग (Option Elimination): आयु के सवालों में अक्सर विकल्पों को प्रश्न की शर्तों में रखकर देखें, उत्तर 5 सेकंड में मिल सकता है।
• सावधानी: प्रश्न में अंत में ध्यान से पढ़ें कि आयु ‘वर्तमान’ पूछी है, ‘5 साल बाद’ या ‘5 साल पहले’।
• योग और अंतर: यदि दो व्यक्तियों की आयु का योग और अंतर दिया हो, तो बड़े की आयु = (योग + अंतर)/2 और छोटे की = (योग – अंतर)/2.

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 3:4 है। 10 वर्ष पूर्व यह 1:2 था। B की वर्तमान आयु क्या है?
2. रीना और उसकी माता की आयु का योग 49 वर्ष है। 7 वर्ष पूर्व माता की आयु रीना से 4 गुनी थी। रीना की माता की वर्तमान आयु क्या है?
3. विवाह के समय एक पति-पत्नी की औसत आयु 23 वर्ष थी। 5 वर्ष बाद उनका 1 वर्ष का बच्चा है। अब पूरे परिवार की औसत आयु क्या है?
4. 6 वर्ष पूर्व सुशील की आयु स्नेहल की आयु की तिगुनी थी। 6 वर्ष बाद सुशील की आयु स्नेहल की आयु का 5/3 गुना होगी। स्नेहल की वर्तमान आयु क्या है?

— आयु संबंधी प्रश्नों का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: साझेदारी (Partnership) का अभ्यास करें। —

अध्याय 14: अनुपात और समानुपात (Ratio & Proportion) – पूर्ण मार्गदर्शिका

“संख्याओं के बीच तुलनात्मक संबंध और समानता का गणितीय आधार”

अनुपात और समानुपात गणित का वह हिस्सा है जो हमें बताता है कि एक राशि दूसरी राशि की तुलना में कितनी गुना है। यदि हम कहें कि A और B के पास धन का अनुपात 2:3 है, तो इसका अर्थ है कि यदि A के पास 2 रुपये हैं, तो B के पास 3 रुपये होंगे। प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, Bank, Railway) में यह अध्याय ‘रामबाण’ माना जाता है क्योंकि इसके माध्यम से बड़े-बड़े सवालों को बिना X माने हल किया जा सकता है।

खंड 1: अनुपात (Ratio) क्या है?

अनुपात दो समान इकाइयों वाली राशियों के बीच का तुलनात्मक संबंध है। इसे ‘:’ चिह्न से दर्शाया जाता है।

• सरल रूप: अनुपात हमेशा अपने सबसे छोटे रूप में होता है। जैसे 10:15 को हम 2:3 लिखेंगे।
• वर्गानुपात (Duplicate Ratio): a:b का वर्गानुपात a² : b² होता है।
• वर्गमूलानुपात (Sub-duplicate Ratio): a:b का वर्गमूलानुपात √a : √b होता है।
• व्युत्क्रमानुपात (Inverse Ratio): a:b का उल्टा अनुपात b:a होता है।

खंड 2: समानुपात (Proportion) क्या है?

जब दो अनुपात आपस में बराबर हों, तो उन्हें ‘समानुपात’ कहा जाता है। इसे ‘::’ चिह्न से दर्शाया जाता है। यदि a:b = c:d, तो हम इसे a:b :: c:d लिखते हैं।

महत्वपूर्ण नियम:

समानुपात में: बाहरी पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल (a × d = b × c)

प्रमुख प्रकार:

• मध्यानुपाती (Mean Proportional): a और b का मध्यानुपाती = √(a × b).
• तृतीयानुपाती (Third Proportional): a और b का तृतीयानुपाती = b² / a.
• चतुर्थानुपाती (Fourth Proportional): a, b, c का चतुर्थानुपाती = (b × c) / a.

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1: यदि A:B = 2:3 और B:C = 4:5 हो, तो A:B:C का मान क्या होगा?

समाधान (कब्जा विधि – Best Trick):

Step 1: A B C को लिखें।

Step 2: पहली लाइन में 2 3 लिखें। 3 के आगे खाली जगह में 3 भरें।

Step 3: दूसरी लाइन में 4 5 लिखें। 4 के पीछे खाली जगह में 4 भरें।

A : B : C

2 : 3 : (3)

(4) : 4 : 5

गुणा करें: (2×4) : (3×4) : (3×5) = 8 : 12 : 15.

उत्तर: 8 : 12 : 15

प्रश्न 2: 675 रुपये को A और B में 5:4 के अनुपात में बांटें।

समाधान:

कुल अनुपात = 5 + 4 = 9 यूनिट।

9 यूनिट = 675 रुपये।

1 यूनिट = 675 / 9 = 75 रुपये।

A का हिस्सा = 5 × 75 = 375 रुपये।

B का हिस्सा = 4 × 75 = 300 रुपये।

उत्तर: 375 और 300 रुपये

प्रश्न 3: एक थैले में 1 रुपये, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 5:6:8 के अनुपात में हैं। यदि कुल मूल्य 240 रुपये हो, तो 25 पैसे के सिक्कों की संख्या क्या है?

समाधान:

सिक्कों का मूल्य अनुपात बनाएं:

1 रु के 5 सिक्के = 5.00 रु

50 पैसे के 6 सिक्के = 3.00 रु

25 पैसे के 8 सिक्के = 2.00 रु

कुल मूल्य अनुपात = 5+3+2 = 10 यूनिट।

10 यूनिट = 240 रु -> 1 यूनिट = 24 रु।

25 पैसे के सिक्कों का मूल्य = 2 × 24 = 48 रु।

सिक्कों की संख्या = 48 × 4 = 192.

उत्तर: 192 सिक्के

खंड 4: विशेष प्रकार के प्रश्न और ट्रिक्स

1. आय और व्यय (Income & Expenditure):

आय – बचत = खर्च। यदि आय का अनुपात और बचत की राशि दी हो, तो हम क्रॉस-मल्टीप्लिकेशन (तिरछा गुणा) विधि से इसे 10 सेकंड में हल कर सकते हैं।

2. मिश्रण (Milk & Water):

जब दो मिश्रणों को मिलाया जाता है, तो अनुपात को समान करने के लिए एल.सी.एम. (LCM) का सहारा लिया जाता है।

3. आयु संबंधी प्रश्न (Age Problems):

अनुपात का अंतर हमेशा समान रहना चाहिए। यदि आज अंतर 2 है, तो 10 साल बाद भी अंतर 2 ही रहेगा। यदि नहीं है, तो गुणा करके समान करें।

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स

• अनुपात का जुड़ाव: यदि A/B = 2/3 है, तो आप A=2k और B=3k मान सकते हैं।
• समानुपात ट्रिक: मध्यानुपाती (Mean Proportional) निकालना सबसे ज्यादा पूछा जाता है, बस दी गई दोनों संख्याओं का गुणा करके वर्गमूल (Root) निकाल दें।
• सिक्कों वाले सवाल: हमेशा ‘मूल्य’ और ‘संख्या’ के बीच के फर्क को समझें। 50 पैसे के 2 सिक्के मिलकर 1 रुपया बनाते हैं।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. यदि A का 15% = B का 20% हो, तो A:B क्या होगा?
2. 4 और 64 का मध्यानुपाती ज्ञात करें।
3. दो संख्याओं का अनुपात 3:5 है। यदि प्रत्येक में 9 जोड़ दिया जाए, तो अनुपात 12:23 हो जाता है। संख्याएं क्या हैं?
4. सोना पानी से 19 गुना भारी है और तांबा 9 गुना। इन्हें किस अनुपात में मिलाएं कि मिश्रण 15 गुना भारी हो जाए? (संकेत: मिश्रण विधि लगाएं)।

— अनुपात और समानुपात का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: आयु संबंधी प्रश्न (Problems on Ages) का अभ्यास करें। —

अध्याय 13: नाव और धारा (Boats & Streams) – संपूर्ण मार्गदर्शिका

“पानी के प्रवाह और गति के तालमेल को समझने का विज्ञान”

नाव और धारा का अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं में उम्मीदवारों की तार्किक क्षमता को परखने के लिए पूछा जाता है। जहाँ सामान्य गति में केवल वस्तु की चाल मायने रखती है, वहीं पानी में नाव की चाल इस बात पर निर्भर करती है कि वह धारा की दिशा में जा रही है या उसके विपरीत। इस अध्याय के सवाल अक्सर नदी, तैराक और मोटरबोट के इर्द-गिर्द घूमते हैं।

खंड 1: महत्वपूर्ण शब्दावली और मूल सिद्धांत

सवालों को हल करने के लिए इन चार बुनियादी मानों को समझना बहुत जरूरी है:

• शांत जल में नाव की चाल (u): जब पानी बिल्कुल स्थिर हो (जैसे तालाब), तब नाव की अपनी असली चाल।
• धारा की चाल (v): नदी के बहते हुए पानी की अपनी चाल।
• अनुप्रवाह या अनुकूल चाल (Downstream – D): जब नाव धारा की दिशा में चलती है। इसमें नाव और पानी दोनों की चालें जुड़ जाती हैं। (D = u + v)
• उर्ध्वप्रवाह या प्रतिकूल चाल (Upstream – U): जब नाव धारा के विपरीत दिशा में चलती है। इसमें नाव की चाल में से पानी की चाल घट जाती है। (U = u – v)

खंड 2: अनिवार्य सूत्र (Essential Formulas)

यदि आपको अनुकूल (D) और प्रतिकूल (U) चालें पता हों, तो आप नाव और धारा की व्यक्तिगत चालें इन सूत्रों से निकाल सकते हैं:

याद रखने वाली बात: नाव की चाल (u) हमेशा धारा की चाल (v) से अधिक होनी चाहिए, अन्यथा नाव धारा के विपरीत कभी आगे नहीं बढ़ पाएगी।

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1: एक नाव की शांत जल में चाल 10 किमी/घंटा है और धारा की चाल 2 किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल 36 किमी जाने में नाव को कितना समय लगेगा?

समाधान:

u = 10, v = 2.

अनुकूल चाल (D) = 10 + 2 = 12 किमी/घंटा।

समय = दूरी / चाल = 36 / 12 = 3 घंटे।

उत्तर: 3 घंटे

प्रश्न 2: एक तैराक धारा के अनुकूल 18 किमी/घंटा और धारा के प्रतिकूल 12 किमी/घंटा की चाल से तैर सकता है। तैराक की शांत जल में चाल और धारा की चाल ज्ञात करें।

समाधान:

D = 18, U = 12.

तैराक की चाल (u) = (18 + 12) / 2 = 30 / 2 = 15 किमी/घंटा।

धारा की चाल (v) = (18 – 12) / 2 = 6 / 2 = 3 किमी/घंटा।

उत्तर: 15 किमी/घंटा और 3 किमी/घंटा

प्रश्न 3: एक नाव धारा के प्रतिकूल जाने में धारा के अनुकूल जाने की तुलना में दुगुना समय लेती है। यदि धारा की चाल 3 किमी/घंटा हो, तो नाव की चाल क्या होगी?

समाधान (ट्रिक):

u = v × [(t₂ + t₁) / (t₂ – t₁)]

यहाँ v = 3, समय का अनुपात = 2 : 1.

u = 3 × [(2 + 1) / (2 – 1)] = 3 × 3 = 9 किमी/घंटा।

उत्तर: 9 किमी/घंटा

खंड 4: विशेष प्रकार के प्रश्न और शॉर्टकट

1. औसत चाल (Average Speed) पानी में:

यदि नाव एक निश्चित दूरी जाकर वापस आती है, तो औसत चाल = (D × U) / u. (यह सामान्य औसत चाल के सूत्र 2xy/(x+y) से ही निकला है)।

2. निश्चित दूरी वाले सवाल:

यदि नाव किसी स्थान पर जाकर वापस आने में कुल ‘T’ समय लेती है, तो दूरी:

दूरी = T × (u² – v²) / 2u

3. तुलनात्मक समय:

जब प्रश्न में दिया हो कि धारा के साथ जाने में ‘x’ समय और विपरीत आने में ‘y’ समय लगता है, तो हमेशा (u+v) और (u-v) के समीकरण बनाकर हल करना सबसे सुरक्षित होता है।

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स

• दिशा का ध्यान: ‘With the stream’ मतलब अनुकूल (+), ‘Against the stream’ मतलब प्रतिकूल (-)।
• इकाई (Unit): किमी/घंटा को मी/सेकंड में बदलना न भूलें (5/18 से गुणा)।
• स्थिरता: शांत जल में चाल (u) हमेशा अनुकूल और प्रतिकूल चालों का ‘औसत’ (माध्य) होती है।
• सावधानी: परीक्षा में अक्सर ‘नाव की चाल’ की जगह ‘तैराक की चाल’ या ‘व्यक्ति की चाल’ लिखा होता है, नियम सब पर एक ही लागू होते हैं।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. एक नाव 8 घंटे में धारा के अनुकूल 40 किमी जाती है और 10 घंटे में धारा के प्रतिकूल 30 किमी आती है। धारा की चाल क्या है?
2. शांत जल में नाव की चाल 15 किमी/घंटा है। धारा की चाल 3 किमी/घंटा है। धारा के विपरीत 60 किमी जाने में कितना समय लगेगा?
3. एक तैराक धारा की दिशा में 1 किमी 6 मिनट में और धारा के विपरीत 1 किमी 10 मिनट में जाता है। धारा की गति क्या है?
4. यदि धारा की चाल नाव की चाल की आधी हो, तो अनुकूल और प्रतिकूल चालों का अनुपात क्या होगा?

— नाव और धारा का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: अनुपात और समानुपात (Ratio and Proportion) का अभ्यास करें। —

अध्याय 12: समय, चाल और दूरी (Time, Speed & Distance) – पूर्ण मार्गदर्शिका

“गति की गणना और यात्रा के समीकरणों को समझने का आधार”

समय, चाल और दूरी का अध्याय भौतिकी और गणित का एक सुंदर संगम है। यह अध्याय हमें बताता है कि किसी निश्चित दूरी को तय करने में हमारी गति और समय के बीच क्या संबंध होता है। प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, Railway, Bank, Police) में इस अध्याय से ‘रेलगाड़ी’, ‘औसत चाल’ और ‘चोर-पुलिस’ वाले प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं।

खंड 1: बुनियादी सूत्र और इकाइयाँ (Basic Formulas)

इस पूरे अध्याय की नींव केवल एक मुख्य सूत्र पर टिकी है:

अन्य सहायक सूत्र:

1. चाल = दूरी / समय

2. समय = दूरी / चाल

इकाइयों का रूपांतरण (Units Conversion):

परीक्षा में अक्सर दूरी किलोमीटर में और समय सेकंड में दिया होता है। इन्हें बदलना बहुत जरूरी है:

• किमी/घंटा से मी/सेकंड में: संख्या को 5/18 से गुणा करें।
  
  उदाहरण: 72 किमी/घंटा = 72 × 5/18 = 20 मी/सेकंड।
• मी/सेकंड से किमी/घंटा में: संख्या को 18/5 से गुणा करें।
  
  उदाहरण: 10 मी/सेकंड = 10 × 18/5 = 36 किमी/घंटा।

खंड 2: औसत चाल और सापेक्ष चाल (Concepts)

1. औसत चाल (Average Speed):

जब कोई व्यक्ति दो समान दूरियाँ अलग-अलग चाल (x और y) से तय करता है:

2. सापेक्ष चाल (Relative Speed):

जब दो वस्तुएँ एक साथ गतिमान हों:

• समान दिशा में: चालें घट जाती हैं (x – y)।
• विपरीत दिशा में: चालें जुड़ जाती हैं (x + y)।

खंड 3: रेलगाड़ी (Trains) से संबंधित विशेष प्रश्न

रेलगाड़ी के सवालों में ‘दूरी’ का चुनाव सबसे महत्वपूर्ण होता है:

• यदि ट्रेन किसी खंभे या व्यक्ति को पार करे: दूरी = ट्रेन की लंबाई।
• यदि ट्रेन किसी पुल या प्लेटफॉर्म को पार करे: दूरी = ट्रेन की लंबाई + प्लेटफॉर्म की लंबाई।

प्रश्न 1: 300 मीटर लंबी एक रेलगाड़ी 54 किमी/घंटा की चाल से एक खंभे को कितने समय में पार करेगी?

समाधान:

Step 1: चाल को मी/सेकंड में बदलें: 54 × 5/18 = 15 मी/सेकंड।

Step 2: समय = दूरी / चाल = 300 / 15 = 20 सेकंड।

उत्तर: 20 सेकंड

खंड 4: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न (Solved)

प्रश्न 2: एक चोर 200 मीटर की दूरी से एक पुलिसकर्मी को देखता है और 10 किमी/घंटा की चाल से भागने लगता है। पुलिसकर्मी 11 किमी/घंटा की चाल से उसका पीछा करता है। 6 मिनट बाद उनके बीच की दूरी क्या होगी?

समाधान:

सापेक्ष चाल = 11 – 10 = 1 किमी/घंटा = 5/18 मी/सेकंड।

6 मिनट = 360 सेकंड।

6 मिनट में पुलिस द्वारा कम की गई दूरी = (5/18) × 360 = 100 मीटर।

शेष दूरी = 200 – 100 = 100 मीटर।

उत्तर: 100 मीटर

प्रश्न 3: एक व्यक्ति अपनी सामान्य चाल के 3/4 भाग से चलने पर अपने कार्यालय 20 मिनट देरी से पहुँचता है। उसका सामान्य समय क्या है?

समाधान (शानदार ट्रिक):

सामान्य समय = [अंश / (अंश और हर का अंतर)] × देरी

= [3 / (4 – 3)] × 20 = 3 × 20 = 60 मिनट।

उत्तर: 60 मिनट (1 घंटा)

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स

• अनुपात का खेल: यदि दूरी समान है, तो चाल का अनुपात समय के अनुपात का उल्टा होगा। (Speed ∝ 1/Time)।
• देरी और जल्दी वाले सवाल: यदि एक बार देरी और एक बार जल्दी हो, तो समय को जोड़ दें। यदि दोनों बार देरी हो, तो समय घटा दें।
• स्टॉपेज (Stoppage) ट्रिक: बिना रुके चाल – रुककर चाल / बिना रुके चाल × 60 = प्रति घंटा रुकने का समय।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. एक कार 2 घंटे में 120 किमी की दूरी तय करती है। उसकी चाल मी/सेकंड में क्या होगी?
2. दो रेलगाड़ियाँ जिनकी लंबाई क्रमशः 150 मी और 180 मी है, विपरीत दिशा में 50 किमी/घंटा और 58 किमी/घंटा की चाल से चल रही हैं। वे एक-दूसरे को कितने समय में पार करेंगी?
3. एक कुत्ता एक बिल्ली का पीछा करता है जो उससे 150 मीटर आगे है। यदि कुत्ते की चाल 30 मीटर/मिनट और बिल्ली की 25 मीटर/मिनट हो, तो कुत्ता बिल्ली को कब पकड़ेगा?
4. शांत जल में एक नाव की चाल 10 किमी/घंटा है और धारा की चाल 2 किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल (Downstream) नाव की चाल क्या होगी?

— समय, चाल और दूरी का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: नाव और धारा (Boats and Streams) का अभ्यास करें। —

अध्याय 11: पाइप और टंकी (Pipes and Cisterns) – संपूर्ण मार्गदर्शिका

“समय और कार्य के सिद्धांतों का तरल अनुप्रयोग”

पैसे और समय के बाद, पाइप और टंकी का अध्याय प्रतियोगी परीक्षाओं में एक अनिवार्य हिस्सा है। यह अध्याय पूरी तरह से ‘समय और कार्य’ के नियमों पर चलता है, लेकिन इसमें एक मुख्य अंतर है—जहाँ ‘समय और कार्य’ में सभी व्यक्ति मिलकर काम को पूरा करते हैं, वहीं ‘पाइप और टंकी’ में कुछ नल टंकी को **भरने** का काम करते हैं और कुछ नल (निकासी पाइप) टंकी को **खाली करने** का काम करते हैं।

खंड 1: बुनियादी अवधारणाएँ (Basic Concepts)

इस अध्याय को समझने के लिए तीन प्रमुख बातों का ध्यान रखें:

• भरने वाला पाइप (Inlet Pipe): यह पाइप टंकी में पानी भरता है। इसकी कार्यक्षमता को हमेशा धनात्मक (+) माना जाता है।
• खाली करने वाला पाइप (Outlet Pipe): यह पाइप टंकी से पानी बाहर निकालता है। इसकी कार्यक्षमता को हमेशा ऋणात्मक (-) माना जाता है।
• टंकी की क्षमता (Capacity): नलों द्वारा लिए गए समय का लसवि (L.C.M.) ही टंकी की कुल क्षमता मानी जाती है।

खंड 2: महत्वपूर्ण सूत्र और नियम

1. दो नलों का मिलकर काम करना:

यदि पाइप A टंकी को ‘x’ घंटे में भरता है और पाइप B ‘y’ घंटे में भरता है, तो दोनों मिलकर उसे:

समय = (x × y) / (x + y) घंटे में भरेंगे।

2. एक भरने वाला और एक खाली करने वाला पाइप:

यदि पाइप A टंकी को ‘x’ घंटे में भरता है और पाइप B उसे ‘y’ घंटे में खाली करता है (जहाँ y > x), तो टंकी भरने में लगा समय:

समय = (x × y) / (y – x) घंटे।

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1: पाइप A एक टंकी को 12 घंटे में और पाइप B उसे 15 घंटे में भर सकता है। यदि दोनों नलों को एक साथ खोल दिया जाए, तो पूरी टंकी कितने समय में भरेगी?

समाधान (L.C.M. विधि):

Step 1: 12 और 15 का लसवि (LCM) = 60 यूनिट (टंकी की कुल क्षमता)।

Step 2: पाइप A की क्षमता = 60 / 12 = 5 यूनिट/घंटा।

Step 3: पाइप B की क्षमता = 60 / 15 = 4 यूनिट/घंटा।

Step 4: दोनों की कुल क्षमता = 5 + 4 = 9 यूनिट/घंटा।

Step 5: कुल समय = 60 / 9 = 20 / 3 = 6 घंटे 40 मिनट।

उत्तर: 6 घंटे 40 मिनट

प्रश्न 2: पाइप A एक टंकी को 10 घंटे में भरता है, लेकिन टंकी की तली में छेद होने के कारण इसे भरने में 12 घंटे लगते हैं। वह छेद पूरी टंकी को कितने समय में खाली कर देगा?

समाधान:

माना छेद पाइप B है।

A की क्षमता = 1/10 (भरने वाला)।

A और B (छेद) की संयुक्त क्षमता = 1/12.

B की क्षमता = 1/12 – 1/10 = (5 – 6) / 60 = -1/60.

ऋणात्मक चिह्न खाली करने को दर्शाता है। अतः छेद 60 घंटे में टंकी खाली कर देगा।

उत्तर: 60 घंटे

प्रश्न 3: दो नल A और B क्रमशः 20 और 30 मिनट में टंकी भरते हैं। दोनों को साथ खोला गया, लेकिन 5 मिनट बाद पाइप A को बंद कर दिया गया। शेष टंकी भरने में B को कितना समय लगेगा?

समाधान:

LCM (20, 30) = 60 यूनिट।

A की क्षमता = 3, B की क्षमता = 2.

5 मिनट में दोनों ने भरा = 5 × (3 + 2) = 25 यूनिट।

शेष काम = 60 – 25 = 35 यूनिट।

B द्वारा लिया गया समय = 35 / 2 = 17.5 मिनट।

उत्तर: 17.5 मिनट

खंड 4: विशेष प्रकार के प्रश्न और ट्रिक्स

1. बारी-बारी से पाइप खोलना (Alternative Pipes):

यदि पहले घंटे पाइप A और दूसरे घंटे पाइप B खोला जाए, तो 2 घंटे का एक ‘चक्र’ (Cycle) बनाकर हल करें। ध्यान रहे कि अंतिम चरण में भरने वाला पाइप ही टंकी को पूर्ण करेगा।

2. रिसाव (Leakage) वाले सवाल:

रिसाव हमेशा एक खाली करने वाले पाइप (-ve) की तरह व्यवहार करता है। इसे कुल क्षमता में से घटाया जाता है।

3. नलों का व्यास (Diameter) और प्रवाह:

नल से निकलने वाले पानी की मात्रा उसके व्यास के वर्ग (Square of Diameter) के समानुपाती होती है। यदि व्यास दुगुना है, तो पानी चार गुना निकलेगा।

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स

• चिह्न (+) और (-) का खेल: भरने वाले के लिए हमेशा प्लस और निकालने वाले के लिए माइनस का उपयोग करें, इससे कभी गलती नहीं होगी।
• पूर्ण क्षमता: यदि प्रश्न में कहा जाए कि टंकी 1/3 भरी है, तो शेष 2/3 भाग पर ही गणना करें।
• समय की इकाई: यदि एक नल घंटे में और दूसरा मिनट में दिया है, तो दोनों को एक ही इकाई में बदलें।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. तीन नल A, B और C एक टंकी को क्रमशः 10, 15 और 30 घंटे में भरते हैं। तीनों मिलकर उसे कितने समय में भरेंगे?
2. पाइप A टंकी को 4 घंटे में भरता है और पाइप B उसे 6 घंटे में खाली करता है। दोनों साथ खोलें तो टंकी कब भरेगी?
3. एक पाइप की क्षमता दूसरे से तिगुनी है। यदि दोनों मिलकर टंकी 36 मिनट में भरते हैं, तो धीमा पाइप उसे कितने समय में भरेगा?
4. नल A टंकी को 20 मिनट में भरता है। 5 मिनट तक चलने के बाद पता चला कि निकास पाइप खुला था, जिससे टंकी भरने में 5 मिनट ज्यादा लगे। निकास पाइप की क्षमता ज्ञात करें।

— पाइप और टंकी का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: समय, चाल और दूरी (Time, Speed and Distance) का अभ्यास करें। —

अध्याय 10: समय और कार्य (Time and Work) – पूर्ण मार्गदर्शिका

“कार्यक्षमता और समय के बीच के संतुलन को समझने की कला”

समय और कार्य का अध्याय इस बुनियादी सिद्धांत पर आधारित है कि किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय, उस व्यक्ति की कार्यक्षमता (Efficiency) के व्युत्क्रमानुपाती (Inversely Proportional) होता है। सरल शब्दों में, यदि आपकी काम करने की गति तेज है, तो आपको समय कम लगेगा। इस अध्याय के सवाल अक्सर मजदूरों की संख्या, दिनों की संख्या और काम के घंटों के इर्द-गिर्द घूमते हैं।

खंड 1: बुनियादी सिद्धांत और कार्यक्षमता

सवालों को हल करने के लिए दो मुख्य बातें याद रखनी चाहिए:

• 1 दिन का काम: यदि कोई व्यक्ति किसी काम को ‘n’ दिनों में पूरा करता है, तो उसका 1 दिन का काम 1/n हिस्सा होगा।
• कार्यक्षमता (Efficiency): यदि A, B से दुगुना तेज काम करता है, तो A को B की तुलना में आधा समय लगेगा।
• कुल काम (Total Work): गणना को आसान बनाने के लिए हम ‘दिनों का लसवि (L.C.M.)’ लेकर उसे कुल काम मान लेते हैं।

खंड 2: महत्वपूर्ण सूत्र (Essential Formulas)

1. एम.डी.एच. (MDH) मसाला ट्रिक:

यह सबसे शक्तिशाली सूत्र है जो मजदूरों, दिनों और घंटों के संबंधों को जोड़ता है।

जहाँ M = आदमी, D = दिन, H = घंटे और W = कार्य (Work)।

2. मिलकर काम करना:

यदि A किसी काम को ‘x’ दिनों में और B उसे ‘y’ दिनों में करता है, तो दोनों मिलकर उसे:

समय = (x × y) / (x + y) दिनों में पूरा करेंगे।

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1: A किसी काम को 10 दिन में और B उसी काम को 15 दिन में पूरा करता है। दोनों मिलकर उस काम को कितने दिन में करेंगे?

समाधान (लसवि विधि – Best Trick):

Step 1: 10 और 15 का लसवि (LCM) निकालें = 30. (माना कुल काम 30 यूनिट है)

Step 2: A की कार्यक्षमता = 30 / 10 = 3 यूनिट/दिन।

Step 3: B की कार्यक्षमता = 30 / 15 = 2 यूनिट/दिन।

Step 4: दोनों की कुल क्षमता = 3 + 2 = 5 यूनिट/दिन।

Step 5: कुल समय = 30 / 5 = 6 दिन।

उत्तर: 6 दिन

प्रश्न 2: 12 आदमी 8 घंटे प्रतिदिन काम करके एक काम को 10 दिन में पूरा करते हैं। तो 15 आदमी 4 घंटे प्रतिदिन काम करके उसे कितने दिन में पूरा करेंगे?

समाधान (MDH Trick):

M₁=12, D₁=10, H₁=8

M₂=15, D₂=?, H₂=4

(12 × 10 × 8) = (15 × D₂ × 4)

960 = 60 × D₂

D₂ = 960 / 60 = 16 दिन।

उत्तर: 16 दिन

प्रश्न 3: A और B मिलकर किसी काम को 12 दिन में करते हैं। A अकेला उसे 20 दिन में कर सकता है। B अकेला उसे कितने दिन में करेगा?

समाधान:

लसवि (12, 20) = 60 यूनिट।

(A + B) की क्षमता = 60 / 12 = 5.

A की क्षमता = 60 / 20 = 3.

B की क्षमता = 5 – 3 = 2.

B का समय = 60 / 2 = 30 दिन।

उत्तर: 30 दिन

खंड 4: विशेष प्रकार के प्रश्न और शॉर्टकट

1. काम छोड़कर जाने वाले प्रश्न:

यदि A काम खत्म होने से 2 दिन पहले छोड़ दे, तो उसके 2 दिन के काम को ‘कुल काम’ में जोड़ दें और फिर सबकी क्षमता से भाग दें।

2. बारी-बारी से काम करना (Alternative Days):

इसमें पहले जोड़े (Pair) का काम निकालें। जैसे A पहले दिन, B दूसरे दिन। 2 दिन का काम = (A+B की क्षमता)। फिर कुल काम के पास पहुँचने के लिए गुणा करें।

3. पुरुष, महिला और बच्चे (And/Or वाले सवाल):

इनमें सबसे पहले उनकी कार्यक्षमता का अनुपात (जैसे 1 पुरुष = 2 महिला) निकालना जरूरी होता है। इसके बाद पूरे सवाल को किसी एक यूनिट (या तो पुरुष या महिला) में बदलकर MDH सूत्र लगाएं।

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स

• लसवि (LCM) ही चाबी है: कार्यक्षमता निकालने के लिए हमेशा दिनों का लसवि लें, इससे गणना आसान हो जाती है।
• काम और मजदूरी: मजदूरी (Money) हमेशा ‘दिनों’ के अनुपात में नहीं, बल्कि ‘कार्यक्षमता’ या ‘किए गए काम’ के अनुपात में बांटी जाती है।
• नकारात्मक कार्य: पाइप और टंकी (अगला अध्याय) में पानी निकालने वाले पाइप को ‘नकारात्मक कार्यक्षमता’ (-ve efficiency) माना जाता है।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. A की कार्यक्षमता B से तिगुनी है। यदि A किसी काम को B से 20 दिन कम में करता है, तो B अकेला उसे कितने दिन में करेगा?
2. 8 पुरुष या 12 महिलाएँ एक काम को 25 दिन में पूरा करते हैं। 6 पुरुष और 11 महिलाएँ उसे कितने दिन में करेंगे?
3. A और B एक काम को क्रमशः 10 और 15 दिन में करते हैं। दोनों ने साथ काम शुरू किया लेकिन 2 दिन बाद A ने काम छोड़ दिया। शेष काम B कितने दिन में करेगा?
4. एक किले में 500 सैनिकों के लिए 30 दिन का भोजन था। 6 दिन बाद 100 सैनिक और आ गए। शेष भोजन कितने दिन चलेगा?

— समय और कार्य का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: पाइप और टंकी (Pipes and Cisterns) का अभ्यास करें। —

अध्याय 9: चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest) – विस्तृत मार्गदर्शिका

“ब्याज पर ब्याज: धन वृद्धि का सबसे शक्तिशाली गणितीय नियम”

चक्रवृद्धि ब्याज वह ब्याज है जो केवल मूलधन पर ही नहीं, बल्कि पिछले वर्षों के संचित ब्याज पर भी लगता है। सरल शब्दों में, जब पहले वर्ष का ब्याज मूलधन में जुड़ जाता है और अगले वर्ष उस नए मिश्रधन पर ब्याज लगता है, तो उसे चक्रवृद्धि ब्याज कहते हैं। यही कारण है कि इसमें पैसा साधारण ब्याज की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है।

खंड 1: महत्वपूर्ण पारिभाषिक शब्दावली

• मूलधन (P): निवेश की गई शुरुआती राशि।
• दर (R): ब्याज की वार्षिक प्रतिशत दर।
• समय (n या T): वह अवधि जिसके लिए पैसा निवेश किया गया है।
• मिश्रधन (A): मूलधन और चक्रवृद्धि ब्याज का कुल योग।
• संयोजन (Compounding): ब्याज कितनी बार जोड़ा जा रहा है (वार्षिक, छमाही, या तिमाही)।

खंड 2: अनिवार्य सूत्र (Essential Formulas)

1. मिश्रधन (Amount) निकालने का सूत्र:

2. चक्रवृद्धि ब्याज (C.I.) निकालना:

C.I. = A – P

या C.I. = P [(1 + R/100)ⁿ – 1]

3. विशेष स्थितियाँ (संयोजन):

• यदि ब्याज छमाही (Half-yearly) देय हो: दर को आधा (R/2) करें और समय को दुगुना (2n) करें।
• यदि ब्याज तिमाही (Quarterly) देय हो: दर को चौथाई (R/4) करें और समय को चार गुना (4n) करें।

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1: 10,000 रुपये पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा?

समाधान:

P = 10000, R = 10, n = 2.

Step 1: मिश्रधन (A) = 10000 [1 + 10/100]²

= 10000 × (11/10) × (11/10) = 12100 रुपये।

Step 2: C.I. = 12100 – 10000 = 2100 रुपये।

उत्तर: 2100 रुपये

प्रश्न 2: 2 वर्ष के लिए साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज का अंतर 50 रुपये है। यदि दर 5% हो, तो मूलधन क्या होगा?

समाधान (शानदार ट्रिक):

2 वर्ष के लिए अंतर (D) = P (R/100)²

50 = P (5/100)²

50 = P (1/20)² => 50 = P / 400

P = 50 × 400 = 20,000 रुपये।

उत्तर: 20,000 रुपये

प्रश्न 3: कोई राशि चक्रवृद्धि ब्याज से 5 वर्ष में दुगुनी हो जाती है। वह 8 गुनी कितने समय में होगी?

समाधान (ट्रिक):

2 गुना = 5 वर्ष।

8 गुना = 2³ गुना।

समय = (घात) × (पहला समय) = 3 × 5 = 15 वर्ष।

उत्तर: 15 वर्ष

खंड 4: C.I. निकालने की ‘Successive’ और ‘Ratio’ ट्रिक

बड़े फॉर्मूलों से बचने के लिए ‘अनुपात विधि’ (Ratio Method) सबसे तेज है:

• 2 वर्ष के लिए अनुपात: 2 : 1
• 3 वर्ष के लिए अनुपात: 3 : 3 : 1

उदाहरण (2 वर्ष): 1000 का 10% = 100. फिर 100 का 10% = 10.

C.I. = (100 × 2) + (10 × 1) = 210.

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स

• पहले वर्ष का राज: पहले वर्ष के लिए साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज हमेशा बराबर होते हैं।
• जनसंख्या वृद्धि: शहर की जनसंख्या बढ़ने वाले सवाल भी इसी चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र से हल होते हैं।
• किस्त (Installment): C.I. की किस्त निकालते समय [1 / (1 + R/100)] का प्रयोग किया जाता है।
• ब्याज दर तुलना: यदि ब्याज वार्षिक की जगह छमाही संयोजित हो, तो आपको हमेशा अधिक ब्याज मिलेगा।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. 5000 रुपये पर 20% की दर से 1.5 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा यदि ब्याज छमाही देय हो?
2. किस दर पर 2 वर्ष में 1000 रुपये की राशि 1210 रुपये हो जाएगी?
3. 3 वर्ष के लिए C.I. और S.I. के अंतर का सूत्र क्या है? (संकेत: D = P(R/100)² × (300+R)/100)
4. एक टीवी 21,000 में खरीदा गया। 10% वार्षिक अवमूल्यन (Depreciation) के बाद 2 वर्ष बाद इसका मूल्य क्या होगा?

— चक्रवृद्धि ब्याज का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: समय और कार्य (Time and Work) का अभ्यास करें। —

अध्याय 8: साधारण ब्याज (Simple Interest) – विस्तृत मार्गदर्शिका

“पैसे के समय मूल्य और निवेश की गणना का आधार”

जब हम किसी बैंक या व्यक्ति से पैसा उधार लेते हैं या किसी को उधार देते हैं, तो उस पैसे के उपयोग के बदले जो अतिरिक्त राशि चुकाई या प्राप्त की जाती है, उसे ब्याज (Interest) कहते हैं। साधारण ब्याज वह ब्याज है जो केवल मूलधन (Principal) पर ही हर साल समान रूप से लगता है। यह चक्रवृद्धि ब्याज की तुलना में सरल और गणना में आसान होता है।

खंड 1: महत्वपूर्ण शब्दावली (Key Terms)

साधारण ब्याज के सवालों को हल करने के लिए इन पांच शब्दों को समझना अनिवार्य है:

• मूलधन (Principal – P): वह राशि जो उधार ली या दी गई है।
• दर (Rate – R): ब्याज की वह प्रतिशत दर जिस पर पैसा दिया गया है (यह अक्सर वार्षिक होती है)।
• समय (Time – T): वह अवधि जिसके लिए पैसा उधार लिया गया है।
• साधारण ब्याज (Simple Interest – S.I.): वह अतिरिक्त राशि जो मूलधन पर मिलती है।
• मिश्रधन (Amount – A): मूलधन और ब्याज का कुल योग। (A = P + S.I.)

खंड 2: अनिवार्य सूत्र (Essential Formulas)

साधारण ब्याज का सबसे प्रसिद्ध सूत्र:

अन्य सहायक सूत्र:

1. मूलधन (P) = (S.I. × 100) / (R × T)

2. दर (R) = (S.I. × 100) / (P × T)

3. समय (T) = (S.I. × 100) / (P × R)

4. मिश्रधन (A) = P + S.I.

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और विस्तृत समाधान

प्रश्न 1: 5000 रुपये पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष का साधारण ब्याज क्या होगा?

समाधान:

P = 5000, R = 10, T = 3.

S.I. = (5000 × 10 × 3) / 100

= 50 × 10 × 3 = 1500 रुपये।

मिश्रधन (A) = 5000 + 1500 = 6500 रुपये।

उत्तर: 1500 रुपये

प्रश्न 2: कितने समय में 2000 रुपये की राशि 5% वार्षिक दर से 2500 रुपये हो जाएगी?

समाधान:

P = 2000, A = 2500.

सबसे पहले ब्याज (S.I.) निकालें: 2500 – 2000 = 500 रुपये।

अब समय (T) का सूत्र लगाएं:

T = (500 × 100) / (2000 × 5)

= 50000 / 10000 = 5 वर्ष।

उत्तर: 5 वर्ष

प्रश्न 3: कोई राशि साधारण ब्याज की दर से 10 वर्ष में दुगुनी हो जाती है। ब्याज की दर क्या है?

समाधान (ट्रिक):

जब राशि ‘n’ गुना हो जाए: R = [(n – 1) × 100] / T

यहाँ n = 2, T = 10.

R = [(2 – 1) × 100] / 10 = 100 / 10 = 10%.

उत्तर: 10%

खंड 4: विशेष प्रकार के प्रश्न और शॉर्टकट ट्रिक्स

1. जब समय महीनों या दिनों में दिया हो:

ब्याज हमेशा वार्षिक दर पर निकलता है।

यदि समय 6 महीने है, तो T = 6/12 = 1/2 वर्ष।

यदि समय 73 दिन है, तो T = 73/365 = 1/5 वर्ष।

2. किस्तों (Installments) वाले सवाल:

जब कोई ऋण किस्तों में चुकाया जाता है, तो प्रत्येक किस्त पर बचा हुआ समय ब्याज के रूप में जोड़ा जाता है। इसका सूत्र जटिल हो सकता है, लेकिन “औसत समय” की ट्रिक से इसे आसानी से हल किया जा सकता है।

3. राशि का बंटवारा (Partial Investment):

यदि एक ही राशि को दो अलग-अलग दरों पर निवेश किया जाए और कुल ब्याज दिया हो, तो ‘मिश्रण’ (Alligation) विधि का प्रयोग करें।

खंड 5: मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स

• समान ब्याज: साधारण ब्याज हर साल बराबर रहता है। यदि पहले साल 100 रुपये ब्याज मिला, तो दूसरे साल भी 100 ही मिलेगा।
• R और T का सीधा संबंध: यदि दर और समय का गुणा किया जाए, तो वह सीधे मूलधन का उतना ही प्रतिशत ब्याज देता है। (जैसे 5% दर और 4 वर्ष = 20% ब्याज)।
• सावधानी: हमेशा सुनिश्चित करें कि दर (Rate) और समय (Time) की इकाई एक ही हो (दोनों वार्षिक हों)।

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. किस दर पर 8000 रुपये की राशि 2 वर्ष में 8800 रुपये हो जाएगी?
2. एक राशि 5 वर्ष में 3 गुनी हो जाती है, तो उसे 9 गुनी होने में कितना समय लगेगा?
3. 12000 रुपये का 12% वार्षिक दर से 9 महीने का साधारण ब्याज ज्ञात करें।
4. यदि ब्याज की दर 2% बढ़ा दी जाए, तो 5000 रुपये पर 3 वर्ष में कितना अतिरिक्त ब्याज मिलेगा?

— साधारण ब्याज का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest) का अभ्यास करें। —

अध्याय 7: लाभ और हानि (Profit and Loss) – पूर्ण मार्गदर्शिका

“व्यापारिक गणनाओं और बुद्धिमत्ता का गणितीय विश्लेषण”

दैनिक जीवन में हम जब भी कोई वस्तु खरीदते या बेचते हैं, तो वहाँ लाभ और हानि का सिद्धांत लागू होता है। गणित का यह अध्याय न केवल परीक्षाओं के लिए महत्वपूर्ण है, बल्कि यह हमें व्यावहारिक जीवन में सही निर्णय लेने में भी मदद करता है। प्रतियोगी परीक्षाओं (SSC, Railway, Bank) में इस अध्याय से 2-3 प्रश्न अनिवार्य रूप से पूछे जाते हैं।

खंड 1: महत्वपूर्ण पारिभाषिक शब्दावली (Basic Terms)

सवालों को हल करने से पहले इन शब्दों का अर्थ समझना बहुत जरूरी है:

• क्रय मूल्य (Cost Price – CP): वह मूल्य जिस पर कोई वस्तु खरीदी जाती है।
• विक्रय मूल्य (Selling Price – SP): वह मूल्य जिस पर कोई वस्तु बेची जाती है।
• अंकित मूल्य (Marked Price – MP): वह मूल्य जो वस्तु पर छपा होता है (इसे सूची मूल्य भी कहते हैं)।
• लाभ (Profit): जब विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य से अधिक हो (SP > CP)।
• हानि (Loss): जब क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य से अधिक हो (CP > SP)।
• छूट (Discount): अंकित मूल्य पर दी जाने वाली कटौती।

खंड 2: अनिवार्य सूत्र (Essential Formulas)

1. लाभ और हानि की गणना:

लाभ = विक्रय मूल्य – क्रय मूल्य

हानि = क्रय मूल्य – विक्रय मूल्य

2. प्रतिशत लाभ और हानि (हमेशा क्रय मूल्य पर गिने जाते हैं):

लाभ % = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100

हानि % = (हानि / क्रय मूल्य) × 100

3. विक्रय मूल्य निकालना:

SP = CP × [(100 + लाभ%) / 100]

SP = CP × [(100 – हानि%) / 100]

4. क्रय मूल्य निकालना:

CP = (SP × 100) / (100 + लाभ%)

CP = (SP × 100) / (100 – हानि%)

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के महत्वपूर्ण प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1: एक वस्तु 500 रुपये में खरीदी गई और 600 रुपये में बेच दी गई। लाभ प्रतिशत ज्ञात करें।

समाधान:

CP = 500, SP = 600.

लाभ = 600 – 500 = 100 रुपये।

लाभ% = (100 / 500) × 100 = 20%.

उत्तर: 20%

प्रश्न 2: किसी वस्तु को 720 रुपये में बेचने पर 20% की हानि होती है। 20% लाभ कमाने के लिए उसे कितने में बेचना चाहिए?

समाधान:

Step 1: पहले क्रय मूल्य (CP) निकालें।

CP = (720 × 100) / (100 – 20) = (720 × 100) / 80 = 900 रुपये।

Step 2: 20% लाभ के लिए नया SP निकालें।

नया SP = 900 का 120% = 1080 रुपये।

शॉर्टकट: (720 / 80) × 120 = 9 × 120 = 1080 रुपये।

उत्तर: 1080 रुपये

प्रश्न 3: 15 वस्तुओं का क्रय मूल्य 12 वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर है। लाभ प्रतिशत क्या है?

समाधान (ट्रिक):

जब CP और SP संख्या में दिए हों: लाभ% = [(अंतर) / विक्रय वस्तुओं की संख्या] × 100

= [(15 – 12) / 12] × 100 = (3 / 12) × 100 = 25%.

उत्तर: 25%

खंड 4: बट्टा या छूट (Discount) वाले सवाल

छूट हमेशा अंकित मूल्य (Marked Price) पर दी जाती है। छूट देने के बाद जो मूल्य बचता है, वही दुकानदार का विक्रय मूल्य होता है।

नियम: विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (100 – छूट%) / 100

प्रश्न 4: एक वस्तु का अंकित मूल्य 1000 रुपये है। उस पर 10% और 20% की दो क्रमिक छूट (Successive Discounts) दी जाती हैं। विक्रय मूल्य क्या होगा?

समाधान:

Step 1: 1000 का 90% = 900.

Step 2: 900 का 80% = 720.

उत्तर: 720 रुपये

खंड 5: बेईमान दुकानदार (Dishonest Dealer) वाले सवाल

ये प्रश्न अक्सर परीक्षाओं में उलझाते हैं। इसका सीधा सूत्र याद रखें:

उदाहरण: एक दुकानदार 1 किलो के स्थान पर 900 ग्राम वाट का प्रयोग करता है।

त्रुटि = 100 ग्राम।

लाभ% = [ 100 / (1000 – 100) ] × 100 = 100/900 × 100 = 11.11%.

मोबाइल यूजर्स के लिए “स्मार्ट रिवीज़न” नोट्स

• No CP, No Profit: जब तक क्रय मूल्य पता न हो, लाभ या हानि प्रतिशत नहीं निकाला जा सकता।
• शून्य लाभ-हानि: यदि दो वस्तुओं को समान मूल्य पर बेचा जाए, एक पर x% लाभ और दूसरी पर x% हानि हो, तो हमेशा हानि ही होगी। हानि% = (x/10)².
• अंकित मूल्य ट्रिक: यदि दुकानदार छूट देने के बाद भी लाभ कमाना चाहता है, तो अंकित मूल्य = क्रय मूल्य × [(100 + लाभ%) / (100 – छूट%)].

स्वयं अभ्यास हेतु प्रश्न (Practice Set)

1. एक कुर्सी 800 रुपये में खरीदकर 20% लाभ पर बेची गई। विक्रय मूल्य ज्ञात करें।
2. 20 वस्तुओं का विक्रय मूल्य 25 वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर है। लाभ या हानि प्रतिशत क्या होगा?
3. 10%, 20% और 30% का एकल समतुल्य बट्टा (Equivalent Discount) क्या है?
4. एक मोबाइल को 4500 में बेचने पर 10% हानि होती है। 10% लाभ के लिए उसे कितने में बेचें?

— लाभ और हानि का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। अगला लक्ष्य: साधारण ब्याज (Simple Interest) का अभ्यास करें। —

अध्याय 6: प्रतिशत (Percentage) – शून्य से शिखर तक

“हर गणना का आधार – सौ (100) पर आधारित तुलना”

प्रतिशत का शाब्दिक अर्थ है ‘प्रति सैकड़ा’ या ‘सौ में से’। गणित में प्रतिशत वह भिन्न है जिसका हर (Denominator) हमेशा 100 होता है। इसे ‘%’ चिह्न से दर्शाया जाता है। यदि हम कहते हैं कि किसी छात्र ने 80% अंक प्राप्त किए, तो इसका मतलब है कि उसने प्रत्येक 100 अंकों में से 80 अंक प्राप्त किए हैं।

खंड 1: बुनियादी नियम और रूपांतरण (Conversion)

प्रतिशत के सवालों को तेज़ी से हल करने के लिए आपको भिन्नों और प्रतिशत के बीच का संबंध पता होना चाहिए।

1. प्रतिशत को भिन्न में बदलना:

प्रतिशत का चिह्न हटाएं और संख्या को 100 से भाग दें।

उदाहरण: 20% = 20/100 = 1/5.

2. भिन्न को प्रतिशत में बदलना:

भिन्न को 100 से गुणा करें और ‘%’ का चिह्न लगाएं।

उदाहरण: 1/4 = (1/4 × 100)% = 25%.

महत्वपूर्ण मान (याद रखें):

• 1/2 = 50%
• 1/3 = 33.33%
• 1/4 = 25%
• 1/5 = 20%
• 1/8 = 12.5%
• 1/10 = 10%

खंड 2: प्रतिशत के प्रमुख प्रकार और सूत्र

नियम 1: प्रतिशत वृद्धि और कमी

यदि किसी संख्या में x% की वृद्धि की जाती है, तो नई संख्या = मूल संख्या × (100 + x) / 100.

यदि कमी की जाती है, तो नई संख्या = मूल संख्या × (100 – x) / 100.

नियम 2: प्रतिशत तुलना (Comparison)

यदि A की आय B से 25% अधिक है, तो B की आय A से कितने प्रतिशत कम है?

सूत्र: [r / (100 + r)] × 100

हल: [25 / (100 + 25)] × 100 = 25/125 × 100 = 20%.

नियम 3: लगातार परिवर्तन (Successive Change)

यदि किसी वस्तु की कीमत पहले x% बढ़ाई जाए और फिर y% बढ़ाई जाए।

कुल परिवर्तन सूत्र: x + y + (xy / 100)

खंड 3: प्रतियोगी परीक्षाओं के हल प्रश्न (Detailed Solutions)

प्रश्न 1: एक चुनाव में दो उम्मीदवार थे। जीतने वाले को 60% वोट मिले और वह 4000 वोटों से जीत गया। कुल कितने वोट पड़े?

समाधान:

जीतने वाले को मिले = 60%.

हारने वाले को मिले = 100% – 60% = 40%.

जीत का अंतर प्रतिशत में = 60% – 40% = 20%.

प्रश्न के अनुसार, 20% = 4000.

1% = 4000 / 20 = 200.

कुल वोट (100%) = 200 × 100 = 20,000.

उत्तर: 20,000

प्रश्न 2: चीनी के मूल्य में 20% की वृद्धि होने पर एक गृहिणी को अपनी खपत कितने प्रतिशत कम करनी चाहिए ताकि खर्च न बढ़े?

समाधान:

वृद्धि (r) = 20%.

कमी प्रतिशत = [r / (100 + r)] × 100

= [20 / (100 + 20)] × 100 = 20/120 × 100 = 16.66%.

उत्तर: 16.66%

प्रश्न 3: एक शहर की जनसंख्या 10,000 है। यह प्रतिवर्ष 10% की दर से बढ़ती है। 2 वर्ष बाद जनसंख्या क्या होगी?

समाधान:

प्रथम वर्ष बाद = 10,000 का 110% = 11,000.

द्वितीय वर्ष बाद = 11,000 का 110% = 12,100.

शॉर्टकट: 10,000 × (110/100) × (110/100) = 12,100.

उत्तर: 12,100

खंड 4: परीक्षाओं के लिए विशेष “टाइप्स”

1. परीक्षा में फेल-पास वाले सवाल:

अक्सर पूछा जाता है कि एक छात्र को पास होने के लिए 33% चाहिए थे, उसने 25% लिए और 40 अंकों से फेल हो गया। ऐसे सवालों में प्रतिशत के अंतर को अंकों के अंतर के बराबर रखें।

2. मिश्रण (Mixture) वाले सवाल:

जैसे—दूध और पानी के 40 लीटर मिश्रण में 10% पानी है। कितना पानी और मिलाएं कि पानी 20% हो जाए? यहाँ ‘दूध’ की मात्रा को स्थिर (Constant) रखकर हल करें।

खंड 5: मोबाइल टिप्स और ट्रिक्स (Quick Revision)

• 10% निकालना: किसी भी संख्या का 10% निकालने के लिए पीछे से एक अंक छोड़कर बिंदु लगा दें। (जैसे 500 का 10% = 50.0)।
• 1% निकालना: दो अंक छोड़कर बिंदु लगाएं। (500 का 1% = 5.00)।
• AB नियम: यदि A, B से बढ़ता है और B, C से, तो हमेशा 100 मानकर शुरू करना आसान होता है।
• आय और व्यय: आय = खर्च + बचत। बचत हमेशा आय का वह हिस्सा है जो खर्च के बाद बचता है।

अभ्यास प्रश्नावली (Practice Questions)

1. 0.05 को प्रतिशत में बदलें।
2. यदि किसी संख्या का 40%, 120 है, तो वह संख्या क्या है?
3. एक आयत की लंबाई 20% बढ़ाई गई और चौड़ाई 10% कम की गई। क्षेत्रफल पर क्या प्रभाव पड़ा?
4. एक टोकरी में 20% सेब खराब हैं। यदि अच्छे सेबों की संख्या 80 है, तो कुल सेब कितने थे?

— प्रतिशत का अध्याय यहाँ समाप्त होता है। इसे अच्छे से समझें क्योंकि अगला अध्याय ‘लाभ और हानि’ इसी पर टिका है। —